Determine as derivadas das funções dadas a seguir.
f(x)=\frac{x^{2}}{2-x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=\frac{x^{2}}{2-x}. O conteúdo principal é a aplicação da regra do quociente, que diz: se f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}, então
f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^{2}}.

Passo 2

Aqui temos
u(x)=x^{2},\quad v(x)=2-x.
Calculamos as derivadas
u'(x)=2x,\quad v'(x)=-1.
Substituindo na regra do quociente:
f'(x) =\frac{2x\,(2-x)-x^{2}\,(-1)}{(2-x)^{2}}.

Passo 3

Fazendo a álgebra no numerador:
2x\,(2-x)-x^{2}(-1) =4x-2x^{2}+x^{2} =4x-x^{2}.
Logo,
f'(x)=\frac{4x-x^{2}}{(2-x)^{2}} =\frac{x(4-x)}{(2-x)^{2}}.

Resposta

f'(x)=\displaystyle \frac{4x-x^{2}}{(2-x)^{2}} = \frac{x(4-x)}{(2-x)^{2}}

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