Determine as derivadas das funções dadas a seguir.
f(x)=\frac{x}{\sqrt[3]{x}}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\frac{x}{\sqrt[3]{x}}
e pede sua derivada. O conteúdo principal é a regra do poder para funções da forma x^n, que diz como derivar potências.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos a função em termos de potências. Como \sqrt[3]{x}=x^{1/3}, temos
f(x)=\frac{x}{x^{1/3}}=x^{1-\tfrac{1}{3}}=x^{2/3}.

Passo 3

Aplicamos a regra da derivada de potência, que diz
\frac{d}{dx}\bigl[x^n\bigr]=n\,x^{n-1}.
Aqui n=\tfrac{2}{3}, logo
f'(x)=\frac{2}{3}\,x^{\tfrac{2}{3}-1} =\frac{2}{3}\,x^{-\tfrac{1}{3}} =\frac{2}{3\,x^{1/3}} =\frac{2}{3\sqrt[3]{x}},
válido para x\neq0.

Resposta

f'(x)=\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}\quad(x\neq0).

Exercícios relacionados