Determine as derivadas das funções a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de derivada juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função
. Vamos usar conceitos de cálculo como derivadas de funções compostas e logaritmos. Para isso, vamos precisar aplicar a regra da cadeia e simplificar a expressão antes de derivar.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. Sabemos que
e que
. Então, nossa função fica:
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
. A derivada de
em relação a
é
, onde
é alguma função de
. No nosso caso,
. Então, aplicando a regra da cadeia:
Passo 4
Vamos calcular a derivada do quociente
. Para isso, usamos a regra do quociente, que diz que a derivada de
é
.
Aqui,
e
. Então:
Aplicando a regra do quociente:
Passo 5
Vamos simplificar o numerador:
Então, a derivada do quociente fica:
Passo 6
Voltando à expressão da derivada de
:
Vamos simplificar essa fração complexa multiplicando numerador e denominador por
:
Passo 7
Simplificando ainda mais:
Sabemos que
, então:
Resposta
A derivada da função é
.