Determine as derivadas das funções a seguir:
y=ln raiz1-cos (x)1+cos (x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de derivada juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função . Vamos usar conceitos de cálculo como derivadas de funções compostas e logaritmos. Para isso, vamos precisar aplicar a regra da cadeia e simplificar a expressão antes de derivar.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. Sabemos que y = 12 ln ( 1 - cos(x)1 + cos(x) ) e que . Então, nossa função fica:

Passo 3

Agora, vamos derivar y' = 12 cdot ddx ( 1 - cos(x)1 + cos(x) )1 - cos(x)1 + cos(x) em relação a . A derivada de em relação a é , onde é alguma função de . No nosso caso, . Então, aplicando a regra da cadeia:

Passo 4

Vamos calcular a derivada do quociente f'(x) = sin(x) e g'(x) = -sin(x) . Para isso, usamos a regra do quociente, que diz que a derivada de ddx ( 1 - cos(x)1 + cos(x) ) = sin(x)(1 + cos(x)) - (1 - cos(x))(-sin(x))(1 + cos(x))^2 é .
Aqui, e . Então:
Aplicando a regra do quociente:

Passo 5

Vamos simplificar o numerador:
sin(x)(1 + cos(x)) + sin(x)(1 - cos(x)) = sin(x)[(1 + cos(x)) + (1 - cos(x))] = sin(x)(2) = 2sin(x)
Então, a derivada do quociente fica:
2sin(x)(1 + cos(x))^2

Passo 6

Voltando à expressão da derivada de y' = 12 cdot 2sin(x)(1 + cos(x))^21 - cos(x)1 + cos(x) :
y' = 12 cdot 2sin(x)(1 + cos(x))^2 cdot (1 + cos(x))1 - cos(x) = 12 cdot 2sin(x)(1 + cos(x))(1 - cos(x))
Vamos simplificar essa fração complexa multiplicando numerador e denominador por :

Passo 7

Simplificando ainda mais:
y' = sin(x)(1 + cos(x))(1 - cos(x))
Sabemos que y' = sin(x)sin^2(x) = 1sin(x) = csc(x) , então:

Resposta

A derivada da função é .

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