Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os extremos da função
sujeita a duas restrições:
b)
restrita a
e
.
b)
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o enunciado: queremos achar os extremos da função de três variáveis
sujeita a duas restrições de igualdade:
O conteúdo aqui é o método dos multiplicadores de Lagrange com duas restrições. Vamos precisar escrever a Lagrangiana e igualar o gradiente a combinações lineares dos gradientes das restrições.
Passo 2
Para aplicar Lagrange, montamos a Lagrangiana
Em seguida, calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
além das restrições
e
.
Passo 3
Da primeira equação
vemos que ou
ou
. Mas
não satisfaz
. Logo
e vale
Substituindo em
Passo 4
Substituindo
na relação
dá
ou seja
, isto é
. A outra restrição
fica
Em seguida
com o mesmo sinal de
.
Passo 5
Portanto, temos quatro pontos candidatos:
-
e 2) , em que , e -
e 4) , em que .
Para cada um, calculamos
Passo 6
Quando
, temos
e
Quando
, temos
e
Logo os maiores valores
ocorrem nos pontos com
e os menores valores
nos pontos com
.
Passo 7
final_answer
Resposta
Extremos encontrados:
Máximos de valor em
(\sqrt2,1/\sqrt2,1/\sqrt2) e (-\sqrt2,-1/\sqrt2,-1/\sqrt2);
Mínimos de valor em
(\sqrt2,1/\sqrt2,-1/\sqrt2) e (-\sqrt2,-1/\sqrt2,1/\sqrt2).
Máximos de valor
(\sqrt2,1/\sqrt2,1/\sqrt2) e (-\sqrt2,-1/\sqrt2,-1/\sqrt2);
Mínimos de valor
(\sqrt2,1/\sqrt2,-1/\sqrt2) e (-\sqrt2,-1/\sqrt2,1/\sqrt2).