Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os extremos da função f sujeita a duas restrições:
b) f(x, y, z)=x y+y z restrita a x y=1 e y^2+z^2=1.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o enunciado: queremos achar os extremos da função de três variáveis
f(x,y,z)=xy+yz
sujeita a duas restrições de igualdade:
g1(x,y,z)=xy-1=0
g2(x,y,z)=y^2+z^2-1=0
O conteúdo aqui é o método dos multiplicadores de Lagrange com duas restrições. Vamos precisar escrever a Lagrangiana e igualar o gradiente a combinações lineares dos gradientes das restrições.

Passo 2

Para aplicar Lagrange, montamos a Lagrangiana
L(x,y,z,lambda,mu)=xy+yz-lambda(xy-1)-mu(y^2+z^2-1)
Em seguida, calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
partial Lpartial x=y-lambda y=0,
partial Lpartial y=x+z-lambda x-2mu y=0,
partial Lpartial z=y-2mu z=0,
além das restrições xy=1 e y^2+z^2=1.

Passo 3

Da primeira equação y-lambda y=0 vemos que ou y=0 ou lambda=1. Mas y=0 não satisfaz xy=1. Logo yneq0 e vale
lambda=1
Substituindo em
y-2mu z=0Rightarrowmu=y2z,
x+z-lambda x-2mu y=0 Rightarrow z=2mu y

Passo 4

Substituindo mu=tfracy2z na relação z=2mu y
z=2l(y2zr)y=y^2z,
ou seja z^2=y^2, isto é z=pm y. A outra restrição y^2+z^2=1 fica
y^2+y^2=1 Rightarrow y^2=tfrac12, y=pmtfrac1raiz2
Em seguida x=1/y=pmraiz2 com o mesmo sinal de y.

Passo 5

Portanto, temos quatro pontos candidatos:
  1. (x,y,z)=(raiz2,tfrac1raiz2,tfrac1raiz2) e 2) (x,y,z)=(-raiz2,-tfrac1raiz2,-tfrac1raiz2), em que z=y, e
  2. (x,y,z)=(raiz2,tfrac1raiz2,-tfrac1raiz2) e 4) (x,y,z)=(-raiz2,-tfrac1raiz2,tfrac1raiz2), em que z=-y.
Para cada um, calculamos
f=xy+yz=1+y z

Passo 6

Quando z=y, temos yz=y^2=1/2 e
f=1+tfrac12=tfrac32
Quando z=-y, temos yz=-y^2=-1/2 e
f=1-tfrac12=tfrac12
Logo os maiores valores 3/2 ocorrem nos pontos com z=y e os menores valores 1/2 nos pontos com z=-y.

Passo 7

final_answer

Resposta

Extremos encontrados:
Máximos de valor f=3/2 em
(\sqrt2,1/\sqrt2,1/\sqrt2) e (-\sqrt2,-1/\sqrt2,-1/\sqrt2);
Mínimos de valor f=1/2 em
(\sqrt2,1/\sqrt2,-1/\sqrt2) e (-\sqrt2,-1/\sqrt2,1/\sqrt2).

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