Determine as derivadas das funções a seguir:
y=tg(x)-1sec (x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função . Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas de funções que envolvem trigonometria. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do quociente e as derivadas das funções trigonométricas e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das derivadas que vamos usar:
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra do quociente, que diz que se , então , onde e .

Passo 4

Vamos encontrar e :
  • então (porque a derivada de é 0).
  • então .

Passo 5

Substituindo y' = sec^2(x) cdot sec(x) - (tan(x) - 1) cdot sec(x)tan(x)sec^2(x) , , e na fórmula da regra do quociente:

Passo 6

Vamos simplificar o numerador:
sec^2(x) cdot sec(x) = sec^3(x)
(tan(x) - 1) cdot sec(x)tan(x) = sec(x)tan^2(x) - sec(x)tan(x)
Então,
y' = sec^3(x) - sec(x)tan^2(x) + sec(x)tan(x)sec^2(x)

Passo 7

Podemos fatorar y' = sec(x)(sec^2(x) - tan^2(x) + tan(x))sec^2(x) no numerador:

Passo 8

Sabemos que y' = sec(x)(1 + tan(x))sec^2(x) , então:

Passo 9

Simplificando mais:
y' = 1 + tan(x)sec(x)
E como y' = cos(x)(1 + tan(x)) , temos:

Resposta

A derivada da função é .

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