Determine os valores extremos da função
b)
restrito a
.
b)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os extremos de f(x,y)=e^{2y} no conjunto definido por x^{2}+y-12\le 0. O conteúdo aqui é otimização de função em duas variáveis sujeita a uma restrição de inequação. Vamos usar o fato de que e^{2y} é crescente em y e estudar o domínio dado por x^{2}+y\le12.
Passo 2
Primeiro, entendemos o domínio D:\n$$
D={(x,y)\in\mathbb R{2}:x{2}+y\le12}\n$$
Esse conjunto é fechado mas não é limitado em x (pois x pode ir a \pm\infty, forçando y\to -\infty). Como f cresce com y, o maior valor de f ocorre na maior altura de D, e o menor valor tende a zero quando y\to -\infty.
Esse conjunto é fechado mas não é limitado em x (pois x pode ir a \pm\infty, forçando y\to -\infty). Como f cresce com y, o maior valor de f ocorre na maior altura de D, e o menor valor tende a zero quando y\to -\infty.
Passo 3
Para achar o máximo, impomos a igualdade da restrição (fronteira do domínio): y=12-x^{2}. Substituindo em f, temos a função de uma variável x:\n
Como e{24-2x{2}} é máximo quando o expoente 24-2x^{2} é máximo, basta minimizar x^{2}. Claro que isso ocorre em x=0.
Passo 4
No ponto x=0, y=12-0^{2}=12, logo o máximo de f é f(0,12)=e{2\cdot12}=e{24}.
Passo 5
Sobre o mínimo, como y pode ir a -\infty na região D, f(x,y)=e^{2y} tende a zero, mas nunca atinge esse valor no domínio. Portanto não há mínimo, apenas
.
Resposta
Máximo global de
em
; não existe mínimo (infimum 0).