Determine os valores extremos da função
b) f(x, y)=e^2 y restrito a x^2+y-12 <= 0.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos de f(x,y)=e^{2y} no conjunto definido por x^{2}+y-12\le 0. O conteúdo aqui é otimização de função em duas variáveis sujeita a uma restrição de inequação. Vamos usar o fato de que e^{2y} é crescente em y e estudar o domínio dado por x^{2}+y\le12.

Passo 2

Primeiro, entendemos o domínio D:\n$$
D={(x,y)\in\mathbb R{2}:x{2}+y\le12}\n$$
Esse conjunto é fechado mas não é limitado em x (pois x pode ir a \pm\infty, forçando y\to -\infty). Como f cresce com y, o maior valor de f ocorre na maior altura de D, e o menor valor tende a zero quando y\to -\infty.

Passo 3

Para achar o máximo, impomos a igualdade da restrição (fronteira do domínio): y=12-x^{2}. Substituindo em f, temos a função de uma variável x:\n g(x)=f(x,12-x^2)=e^2(12-x^2)=e^24-2x^2
Como e{24-2x{2}} é máximo quando o expoente 24-2x^{2} é máximo, basta minimizar x^{2}. Claro que isso ocorre em x=0.

Passo 4

No ponto x=0, y=12-0^{2}=12, logo o máximo de f é f(0,12)=e{2\cdot12}=e{24}.

Passo 5

Sobre o mínimo, como y pode ir a -\infty na região D, f(x,y)=e^{2y} tende a zero, mas nunca atinge esse valor no domínio. Portanto não há mínimo, apenas inf f=0.

Resposta

Máximo global de e^24 em (0,12); não existe mínimo (infimum 0).

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