Utilize o método dos multiplicadores de Lagrange e determine os pontos onde
tem valor extremo.
c)
restrito a
c)
Passo 1
Nesse exercício vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar os extremos de f(x,y)=x−y sobre a circunferência dada por x²+y²=2. Para isso, vamos precisar definir a restrição g(x,y)=x²+y² e resolver o sistema ∇f=λ∇g.
Passo 2
Primeiro, calculamos os gradientes. Para f(x,y)=x−y temos
Para g(x,y)=x2+y2 temos
Passo 3
Agora igualamos
ou seja
Passo 4
Das duas equações isolamos λ:
Igualando essas expressões obtemos
o que leva a
Passo 5
Substituindo y=−x na restrição x²+y²=2 temos
Então y=−x dá os pontos candidatos
Passo 6
Por fim, avaliamos f nesses pontos:
Logo (1,−1) é ponto de máximo e (−1,1) é ponto de mínimo.
Passo 7
Concluímos que sobre a circunferência x²+y²=2 os extremos de f(x,y)=x−y são um máximo em (1,−1) e um mínimo em (−1,1).
Resposta
Máximo em (1,−1) com valor 2; mínimo em (−1,1) com valor −2.