Utilize o método dos multiplicadores de Lagrange e determine os pontos onde f tem valor extremo.
c) f(x, y)=x-y restrito a x^2+y^2=2

Passo 1

Nesse exercício vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar os extremos de f(x,y)=x−y sobre a circunferência dada por x²+y²=2. Para isso, vamos precisar definir a restrição g(x,y)=x²+y² e resolver o sistema ∇f=λ∇g.

Passo 2

Primeiro, calculamos os gradientes. Para f(x,y)=x−y temos
nabla f=(1,,-1)
Para g(x,y)=x2+y2 temos
nabla g=(2x,,2y)

Passo 3

Agora igualamos
nabla f=lambdanabla g
ou seja
1=2lambda x, -1=2lambda y

Passo 4

Das duas equações isolamos λ:
lambda=12x, lambda=-12y
Igualando essas expressões obtemos
12x=-12y
o que leva a
y=-x

Passo 5

Substituindo y=−x na restrição x²+y²=2 temos
x^2+(-x)^2=2Rightarrow 2x^2=2Rightarrow x=pm1
Então y=−x dá os pontos candidatos
(1,-1)e(-1,1)

Passo 6

Por fim, avaliamos f nesses pontos:
f(1,-1)=1-(-1)=2, f(-1,1)=-1-1=-2
Logo (1,−1) é ponto de máximo e (−1,1) é ponto de mínimo.

Passo 7

Concluímos que sobre a circunferência x²+y²=2 os extremos de f(x,y)=x−y são um máximo em (1,−1) e um mínimo em (−1,1).

Resposta

Máximo em (1,−1) com valor 2; mínimo em (−1,1) com valor −2.

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