Utilize o método dos multiplicadores de Lagrange e determine os pontos onde
tem valor extremo.
a)
restrito a
a)
Passo 1
O enunciado pede pra achar os extremos de f(x,y)=−x²−10y² sujeitos à reta x+y=11 usando multiplicadores de Lagrange. O conteúdo é otimização com restrição e vamos usar gradiente e Lagrange para montar e resolver um sistema.
Passo 2
Montamos o Lagrangiano e escrevemos as condições de estacionariedade:
As condições são as derivadas parciais nulas:
Passo 3
Das duas primeiras equações vem λ=2x e λ=20y. Igualando dá 2x=20y ⇒ x=10y. Substituindo na restrição x+y=11 temos 10y+y=11 ⇒ 11y=11 ⇒ y=1 e então x=10.
Passo 4
Agora avaliamos a natureza do extremo. Como f é soma de quadráticos negativos, é função estritamente côncava e sobre a reta gera uma parábola voltada pra baixo. Logo (10,1) é máximo global e não existe mínimo (f→−∞ ao longo da reta).
Resposta
O único ponto extremo é um máximo em (10,1) com valor f(10,1)=−110; não há mínimo.