Utilize o método dos multiplicadores de Lagrange e determine os pontos onde f tem valor extremo.
a) f(x, y)=-x^2-10 y^2 restrito a x+y=11

Passo 1

O enunciado pede pra achar os extremos de f(x,y)=−x²−10y² sujeitos à reta x+y=11 usando multiplicadores de Lagrange. O conteúdo é otimização com restrição e vamos usar gradiente e Lagrange para montar e resolver um sistema.

Passo 2

Montamos o Lagrangiano e escrevemos as condições de estacionariedade:
L(x,y,lambda)= -x^2 -10y^2 + lambda,(x+y-11)
As condições são as derivadas parciais nulas:
partialLpartial x=-2x + lambda=0, partialLpartial y=-20y + lambda=0, partialLpartial lambda=x+y-11=0

Passo 3

Das duas primeiras equações vem λ=2x e λ=20y. Igualando dá 2x=20y ⇒ x=10y. Substituindo na restrição x+y=11 temos 10y+y=11 ⇒ 11y=11 ⇒ y=1 e então x=10.

Passo 4

Agora avaliamos a natureza do extremo. Como f é soma de quadráticos negativos, é função estritamente côncava e sobre a reta gera uma parábola voltada pra baixo. Logo (10,1) é máximo global e não existe mínimo (f→−∞ ao longo da reta).

Resposta

O único ponto extremo é um máximo em (10,1) com valor f(10,1)=−110; não há mínimo.

Exercícios relacionados