Encontrar a área da região limitada do plano
, delimitada pelas representações geométricas dos gráficos das funções abaixo:
e
Passo 1
A gente quer a área da região no plano xy limitada pela curva y = x √(4 – x²), pelas retas x = 0, x = 2 e pelo eixo y = 0. Esse é um problema de cálculo de área sob a curva, então vamos precisar usar integração definida e, mais especificamente, uma substituição para facilitar.
Passo 2
Para montar a integral, lembramos que a área é dada por ∫₀² f(x) dx. Ou seja,
Passo 3
Para resolver essa integral, usamos a substituição u = 4 – x², logo du = –2x dx, ou seja, x dx = –½ du. Quando x = 0, u = 4; quando x = 2, u = 0.
Reescrevendo a integral em u, temos:
Reescrevendo a integral em u, temos:
Passo 4
Invertendo os limites para ficar de 0 a 4 e tirar o sinal:
Passo 5
Como 4^{3/2} = (√4)³ = 2³ = 8, vem