Encontrar a área da região limitada do plano x O y, delimitada pelas representações geométricas dos gráficos das funções abaixo:
f(x)=x raiz4-x^2, x=0, x=2 e y=0

Passo 1

A gente quer a área da região no plano xy limitada pela curva y = x √(4 – x²), pelas retas x = 0, x = 2 e pelo eixo y = 0. Esse é um problema de cálculo de área sob a curva, então vamos precisar usar integração definida e, mais especificamente, uma substituição para facilitar.

Passo 2

Para montar a integral, lembramos que a área é dada por ∫₀² f(x) dx. Ou seja,
A = integral0^2 x raiz4 - x^2,dx

Passo 3

Para resolver essa integral, usamos a substituição u = 4 – x², logo du = –2x dx, ou seja, x dx = –½ du. Quando x = 0, u = 4; quando x = 2, u = 0.
Reescrevendo a integral em u, temos:
A = integralu=4^u=0 x raizu ,dx = integral4^0 raizu l(-tfrac12dur) = -tfrac12 integral4^0 u^1/2 du

Passo 4

Invertendo os limites para ficar de 0 a 4 e tirar o sinal:
A = tfrac12 integral0^4 u^1/2 du = tfrac12 cdot u^3/23/2 |0^4 = tfrac12 cdot 23 l(4^3/2 - 0r)

Passo 5

Como 4^{3/2} = (√4)³ = 2³ = 8, vem
A = tfrac12 cdot tfrac23 cdot 8 = tfrac83

Resposta

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