1. sumk=1^+infty(-1)^k+1 2^kk!

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma infinita sumk=1^+infty(-1)^k+12^kk!. O conteúdo é séries de potências e vamos usar a expansão em série de Taylor da função exponencial para resolver.

Passo 2

A definição que precisamos é a expansão de e^x:
e^x = sumk=0^+infty x^kk!

Passo 3

Escolhendo x = -2 na fórmula acima, obtemos
e^-2 = sumk=0^+infty (-1)^k2^kk!
Essa série é muito parecida com a que temos no enunciado, só que começa em k=0 e não tem o sinal (-1)^k+1.

Passo 4

Para ajustar, note que
sumk=1^+infty(-1)^k2^kk! = e^-2 - 1,
e a nossa soma original é
sumk=1^+infty(-1)^k+12^kk! = -sumk=1^+infty(-1)^k2^kk! = 1 - e^-2

Resposta

1 - e^-2

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