Considere a função z=f(x, y) dada por z=arctan (x^2+y^2). Calcule:
(a) partial zpartial x;
(b) partial zpartial y;
© As derivadas acima em (1,1) e em (0,0), na ordem.

Passo 1

O problema pede para calcular as derivadas parciais de z=f(x,y)=arctan(x^2+y^2), ou seja, partial zpartial x e partial zpartial y. Vamos usar a regra da cadeia, sabendo que se z=arctan(u), então dzdu=11+u^2. Além disso, precisamos derivar u=x^2+y^2 em relação a x e y.

Passo 2

Primeiro definimos u=x^2+y^2, de modo que z=arctan(u). Aplicando a regra da cadeia para partial zpartial x:
partial zpartial x=ddul(arctan(u)r)cdotpartial upartial x=11+u^2cdot(2x)=2x1+(x^2+y^2)^2

Passo 3

De forma análoga, para partial zpartial y usamos partial upartial y=2y e obtemos:
partial zpartial y=11+u^2cdot(2y)=2y1+(x^2+y^2)^2

Passo 4

Agora avaliamos essas derivadas no ponto (1,1). Como x^2+y^2=1^2+1^2=2, o denominador fica 1+2^2=5. Logo:
partial zpartial x(1,1)=2cdot15=25, partial zpartial y(1,1)=2cdot15=25

Passo 5

Por fim, no ponto (0,0) temos x^2+y^2=0, de modo que o denominador é 1+0=1 e os numeradores são nulos. Assim:
partial zpartial x(0,0)=0, partial zpartial y(0,0)=0

Resposta

partial zpartial x=2x1+(x^2+y^2)^2, partial zpartial y=2y1+(x^2+y^2)^2 Em (1,1): 2/5 e 2/5. Em (0,0): 0 e 0.

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