Determine as derivadas parciais fx, fy, fx x, fx y, fy x e fy y de
f(x, y)=x^4 y^3+8 x^2 y

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira e segunda ordem de f(x,y)=x^4y^3+8x^2y. O conteúdo é derivação parcial em funções de duas variáveis, usando regra da potência e regra do produto.

Passo 2

Para obter fx, derivamos f em relação a x, tratando y como constante. A derivada de x^4y^3 é 4x^3y^3 e a de 8x^2y é 16xy.
fx = 4x^3y^3 + 16xy

Passo 3

Para obter fy, derivamos f em relação a y, tratando x como constante. A derivada de x^4y^3 é 3x^4y^2 e a de 8x^2y é 8x^2.
fy = 3x^4y^2 + 8x^2

Passo 4

Derivadas de segunda ordem a partir de fx: para fxx derivamos fx em relação a x e para fxy derivamos fx em relação a y.
fxx = partialpartial x(4x^3y^3 + 16xy) = 12x^2y^3 + 16y, fxy = partialpartial y(4x^3y^3 + 16xy) = 12x^3y^2 + 16x

Passo 5

Derivadas de segunda ordem a partir de fy: para fyx derivamos fy em relação a x e para fyy derivamos fy em relação a y.
fyx = partialpartial x(3x^4y^2 + 8x^2) = 12x^3y^2 + 16x, fyy = partialpartial y(3x^4y^2 + 8x^2) = 6x^4y

Resposta

fx = 4x^3y^3 + 16xy, ; fy = 3x^4y^2 + 8x^2, ; fxx = 12x^2y^3 + 16y, ; fxy = 12x^3y^2 + 16x, ; fyx = 12x^3y^2 + 16x, ; fyy = 6x^4y

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