Determine as derivadas parciais fx, fy, fx x, fx y, fy x e fy y de
f(x, t)=raizx ln t

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=√x·ln y e pede as derivadas parciais de primeira e segunda ordem. Vamos usar regras de derivação de potências e logaritmos.

Passo 2

Para f_x aplicamos a derivada de √x = x^{1/2}, tratando ln y como constante: f_x = 12x^-1/2·ln y = ln y2raizx.
Para f_y tratamos √x como constante e derivamos ln y: f_y = √x· 1y = raizxy.

Passo 3

Para f_{xx} derivamos f_x em relação a x: f_x = ln y2x^-1/2, então f_{xx} = ln y2(-1/2)x^{-3/2} = -ln y4x^3/2.
Para f_{xy} derivamos f_x em relação a y: f_x = ln y2raizx, então f_{xy} = 12raizx· 1y = 12yraizx.
Para f_{yx} derivamos f_y em relação a x: f_y = raizxy, então f_{yx} = 1y· 12x^-1/2 = 12yraizx, que coincide com f_{xy}.
Para f_{yy} derivamos f_y em relação a y: f_y = raizxy, então f_{yy} = √x·(-1)y^{-2} = -raizxy^2.

Resposta

f_x = ln y2raizx, f_y = raizxy, f_{xx} = -ln y4x^3/2, f_{xy} = 12yraizx, f_{yx} = 12yraizx, f_{yy} = -raizxy^2

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