Determine as derivadas parciais fx, fy, fx x, fx y, fy x e fy y de
f(x, y)=tan (x y)

Passo 1

A função é f(x,y) = tan(xy). O conteúdo aqui é derivadas parciais usando a regra da cadeia. Vamos precisar lembrar que d/dw tan(w) = sec^2(w) e que sec^2(w) = 1/cos^2(w).

Passo 2

Para achar f_x, trate y como constante. Defina u(x,y)=xy. Então f(x,y)=tan(u). Pela regra da cadeia temos f_x = sec^2(u)·u_x. Como u_x = ∂(xy)/∂x = y, conclui-se que f_x = y·sec^2(xy).

Passo 3

Para achar f_y, trate x como constante. Usando de novo u(x,y)=xy e a regra da cadeia, f_y = sec^2(u)·u_y. Como u_y = ∂(xy)/∂y = x, obtemos f_y = x·sec^2(xy).

Passo 4

Para calcular f_{xx}, derive f_x = y·sec^2(xy) em relação a x. Como y é constante, use-se produto e cadeia: ∂/∂x[sec^2(xy)] = 2·sec^2(xy)·tan(xy)·∂(xy)/∂x = 2·sec^2(xy)·tan(xy)·y. Logo f_{xx} = y·2·sec^2(xy)·tan(xy)·y = 2y2·sec2(xy)·tan(xy).

Passo 5

Para calcular f_{xy}, derive f_x = y·sec^2(xy) em relação a y. Fazendo produto e cadeia: ∂/∂y[y] = 1 e ∂/∂y[sec^2(xy)] = 2·sec^2(xy)·tan(xy)·x. Logo f_{xy} = sec^2(xy) + y·2·sec^2(xy)·tan(xy)·x = sec^2(xy) + 2xy·sec^2(xy)·tan(xy).

Passo 6

Como f_{yx} é derivada de f_y em relação a x e a função é suficientemente suave, temos f_{yx} = f_{xy} = sec^2(xy) + 2xy·sec^2(xy)·tan(xy).

Passo 7

Para calcular f_{yy}, derive f_y = x·sec^2(xy) em relação a y. Aqui x é constante, e ∂/∂y[sec^2(xy)] = 2·sec^2(xy)·tan(xy)·x. Logo f_{yy} = x·2·sec^2(xy)·tan(xy)·x = 2x2·sec2(xy)·tan(xy).

Resposta

fx(x,y)=ysec^2(xy), fy(x,y)=xsec^2(xy), fxx(x,y)=2y^2sec^2(xy)tan(xy), fxy(x,y)=sec^2(xy)+2xysec^2(xy)tan(xy), fyx(x,y)=fxy(x,y), fyy(x,y)=2x^2sec^2(xy)tan(xy)

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