Determine as derivadas parciais de z=f(x, y), em que:
f(x, y)=sen(x y)+3 x y

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de f(x,y)=sin(xy)+3xy. O assunto é derivadas parciais e vamos precisar aplicar a regra da cadeia na parte sin(xy) e a derivada de produto na parte 3xy, sempre tratando a variável não diferenciada como constante.

Passo 2

Para calcular partial fpartial x, diferenciamos sin(xy) em relação a x usando regra da cadeia: a derivada de sin(u) é cos(u) vezes a derivada de u=xy em relação a x, que é y. Assim obtemos ycos(xy). Depois diferenciamos 3xy em relação a x, vendo y como constante, o que dá 3y. Somando,

Passo 3

Para calcular partial fpartial y, fazemos o mesmo processo mas agora diferenciando em relação a y. A derivada de sin(xy) é cos(xy) vezes a derivada de xy em relação a y, que é x, resultando em xcos(xy). E a derivada de 3xy em relação a y é 3x. Somando,

Resposta

fx(x,y)=ycos(xy)+3y e fy(x,y)=xcos(xy)+3x.

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