Determine as derivadas parciais até a segunda ordem das funções:
f(x, y, z)=x^2+y^2-(z+3)^3;

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função f(x,y,z)=x^2+y^2-(z+3)^3. O conteúdo envolve derivada parcial (tratando as outras variáveis como constantes) e, para a parte em z, vai aparecer a regra da cadeia por conta do termo (z+3)^3.

Passo 2

Para obter as derivadas parciais de primeira ordem, derivamos f em relação a cada variável separadamente, considerando as demais como constantes. Aplicando as regras de potência e cadeia, ficamos com
fx = 2x fy = 2y fz = -3(z+3)^2

Passo 3

Em seguida, calculamos as derivadas parciais de segunda ordem derivando cada derivada de primeira ordem mais uma vez em relação a cada variável. Isso nos dá
fxx = 2 fxy = 0 fxz = 0
fyy = 2 fyz = 0 fzz = -6(z+3)

Resposta

As derivadas parciais de primeira e segunda ordem são
fx = 2x fy = 2y fz = -3(z+3)^2
fxx = 2 fxy = 0 fxz = 0 fyy = 2 fyz = 0 fzz = -6(z+3)

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