Determine as derivadas parciais até a segunda ordem das funções:
f(x, y, z)=(3 x y-z)^4;

Passo 1

A questão pede para encontrar as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função f(x,y,z) = (3xy – z)⁴, usando derivação parcial e a regra da cadeia.

Passo 2

Vamos definir u = 3xy – z, de modo que f = u⁴. Pela regra da cadeia, temos ∂f/∂x = 4u³·∂u/∂x, ∂f/∂y = 4u³·∂u/∂y e ∂f/∂z = 4u³·∂u/∂z. Como ∂u/∂x = 3y, ∂u/∂y = 3x e ∂u/∂z = –1, obtemos:
fx = 4u^3 cdot 3y = 12y,(3xy - z)^3,
fy = 4u^3 cdot 3x = 12x,(3xy - z)^3,
fz = 4u^3 cdot (-1) = -4,(3xy - z)^3

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de segunda ordem, aplicando novamente a regra da cadeia a cada derivada de primeira ordem. Usando u = 3xy - z:
fxx = partialpartial xl(12y,u^3r) = 12ycdot 3u^2cdot partial upartial x = 36y,u^2cdot 3y = 108y^2,(3xy - z)^2,
fyy = partialpartial yl(12x,u^3r) = 12xcdot 3u^2cdot partial upartial y = 36x,u^2cdot 3x = 108x^2,(3xy - z)^2,
fzz = partialpartial zl(-4,u^3r) = -4cdot 3u^2cdot partial upartial z = -12u^2cdot(-1) = 12,(3xy - z)^2

Passo 4

Para as mistas, derivamos cada primeira derivada em relação à outra variável:
fxy = partialpartial yl(12y,u^3r) = 12,u^3 + 12ycdot 3u^2cdot 3x = 12(3xy - z)^3 + 108xy,(3xy - z)^2,
fxz = partialpartial zl(12y,u^3r) = 12ycdot 3u^2cdot(-1) = -36y,(3xy - z)^2,
fyz = partialpartial zl(12x,u^3r) = 12xcdot 3u^2cdot(-1) = -36x,(3xy - z)^2
Note que f_{yx} = f_{xy}, f_{zx} = f_{xz} e f_{zy} = f_{yz}.

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem são:
f_x = 12y,(3xy - z)^3,
f_y = 12x,(3xy - z)^3,
f_z = -4,(3xy - z)^3.
As derivadas parciais de segunda ordem são:
f_{xx} = 108y^2,(3xy - z)^2,
f_{yy} = 108x^2,(3xy - z)^2,
f_{zz} = 12,(3xy - z)^2,
f_{xy} = 12(3xy - z)^3 + 108xy,(3xy - z)^2,
f_{xz} = -36y,(3xy - z)^2,
f_{yz} = -36x,(3xy - z)^2.

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