Calcule, caso exista:
lim x -8 x+8raiz[3]x+2

Passo 1

O enunciado pede para calcular limxto -8 x+8raiz[3]x+2. O conteúdo aqui é limite de função que gera uma indeterminação 0/0, e vamos precisar usar fatoração de soma/diferença de cubos ou, alternativamente, a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Ao substituir diretamente x=-8, vemos que o numerador x+8 fica 0 e o denominador raiz[3]x+2 também fica 0, configurando uma indeterminação 0/0. Para resolver, escolhemos fatorar usando a identidade de diferença de cubos. Primeiro, fazemos a mudança de variável y=raiz[3]x, de modo que x=y^3 e quando xto -8 temos yto -2. Reescrevendo o limite em termos de y, fica
limyto -2y^3+8y+2

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula de soma de cubos: a^3+ b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2). Aqui a=y e b=2, então
y^3+8=(y+2)(y^2-2y+4)

Passo 4

Substituindo na expressão do limite, temos
limyto -2(y+2)(y^2-2y+4)y+2

Passo 5

Podemos cancelar o fator y+2 (válido para yneq -2) e obter
limyto -2(y^2-2y+4)

Passo 6

Basta agora substituir y=-2 na expressão simplificada:
(-2)^2-2cdot(-2)+4=4+4+4=12

Resposta

12

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