Ache o domínio e a imagem da função definida pela equação dada.
Passo 1
Primeiro vamos entender que a questão pede o domínio e a imagem de uma função racional, ou seja, quais valores de
ela aceita e quais valores de
ela produz. Vamos usar conteúdos de fatoração, domínio de funções racionais e análise de imagem.
Passo 2
Vamos fatorar o numerador e o denominador. O numerador é
. Fatorando:
e
. O denominador
tem
. Então a função vira:
[
y=\frac{(x-1)(x-3)(x-2)(x+2)}{(x-2)(x-3)(x+2)}
].
[
y=\frac{(x-1)(x-3)(x-2)(x+2)}{(x-2)(x-3)(x+2)}
].
Passo 3
Para achar o domínio, lembramos que uma função racional não pode ter denominador zero. Portanto, temos que excluir de
as raízes de
, ou seja,
,
e
. Então o domínio é
.
Passo 4
Depois de identificar as exclusões do domínio, podemos simplificar a expressão cancelando os fatores comuns desde que
não seja
,
ou
. Assim, para todos os
válidos,
[
y = x-1.
]
[
y = x-1.
]
Passo 5
Agora vamos analisar a imagem. Como para
no domínio a função se comporta como
, ela é uma reta de coeficiente angular 1 que, em princípio, atinge todos os valores reais. Porém, em
a função original não está definida, e os valores correspondentes de
nessas
são
(em
),
(em
) e
(em
). Esses pontos virariam “buracos” na reta e, portanto, não pertencem à imagem.
Passo 6
Concluímos que a imagem é o conjunto de todos os valores reais exceto
,
e
. Logo, a imagem é
.
Resposta
Domínio:
. Imagem:
.