Ache o domínio e a imagem da função definida pela equação dada.
y=(x^2-4 x+3)(x^2-4)(x^2-5 x+6)(x+2)

Passo 1

Primeiro vamos entender que a questão pede o domínio e a imagem de uma função racional, ou seja, quais valores de x ela aceita e quais valores de y ela produz. Vamos usar conteúdos de fatoração, domínio de funções racionais e análise de imagem.

Passo 2

Vamos fatorar o numerador e o denominador. O numerador é (x^2-4x+3)(x^2-4). Fatorando: x^2-4x+3=(x-1)(x-3) e x^2-4=(x-2)(x+2). O denominador (x^2-5x+6)(x+2) tem x^2-5x+6=(x-2)(x-3). Então a função vira:
[
y=\frac{(x-1)(x-3)(x-2)(x+2)}{(x-2)(x-3)(x+2)}
].

Passo 3

Para achar o domínio, lembramos que uma função racional não pode ter denominador zero. Portanto, temos que excluir de x as raízes de (x-2)(x-3)(x+2)=0, ou seja, xneq 2, xneq 3 e xneq -2. Então o domínio é Rsetminus-2,2,3.

Passo 4

Depois de identificar as exclusões do domínio, podemos simplificar a expressão cancelando os fatores comuns desde que x não seja 2, 3 ou -2. Assim, para todos os x válidos,
[
y = x-1.
]

Passo 5

Agora vamos analisar a imagem. Como para x no domínio a função se comporta como y=x-1, ela é uma reta de coeficiente angular 1 que, em princípio, atinge todos os valores reais. Porém, em x=2,3,-2 a função original não está definida, e os valores correspondentes de y nessas x são y=1 (em x=2), y=2 (em x=3) e y=-3 (em x=-2). Esses pontos virariam “buracos” na reta e, portanto, não pertencem à imagem.

Passo 6

Concluímos que a imagem é o conjunto de todos os valores reais exceto -3, 1 e 2. Logo, a imagem é Rsetminus-3,1,2.

Resposta

Domínio: Rsetminus-2,2,3. Imagem: Rsetminus-3,1,2.

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