Determine as derivadas parciais até a segunda ordem das funções:
f(x, y)=y ln x.

Passo 1

A questão pede para achar todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função f(x,y)=yln x. O conteúdo aqui é derivada parcial, e vamos precisar usar a definição de derivada parcial, tratando uma variável como constante por vez, além da regra tfracddxln x=1/x.

Passo 2

Para as derivadas de primeira ordem, tratamos uma variável por vez como constante. A derivada de f em relação a x é:
partial fpartial x=ycdotddx(ln x)=ycdot1x=yx
E a derivada de f em relação a y é:
partial fpartial y=ln x(pois x é constante e ddy(y)=1)é

Passo 3

Agora, as derivadas de segunda ordem. Primeiro partial^2f/partial x^2, derivando fx= y/x em relação a x (com y constante):
partial^2 fpartial x^2=ddxl(yxr)=-y1x^2=-yx^2
A derivada mista partial^2f/partial ypartial x é obtida derivando fx=y/x em relação a y:
partial^2 fpartial ypartial x=ddyl(yxr)=1x
Da mesma forma, a derivada mista partial^2f/partial xpartial y vem de derivar fy=ln x em relação a x:
partial^2 fpartial xpartial y=ddx(ln x)=1x
Por fim, a derivada de segunda ordem em relação a y duas vezes é:
partial^2 fpartial y^2=ddy(ln x)=0,
já que ln x não depende de y.

Resposta

As derivadas parciais de primeira e segunda ordem são:
.

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