Determine as derivadas parciais até a segunda ordem das funções:
.
Passo 1
A questão pede para achar todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
. O conteúdo aqui é derivada parcial, e vamos precisar usar a definição de derivada parcial, tratando uma variável como constante por vez, além da regra
.
Passo 2
Para as derivadas de primeira ordem, tratamos uma variável por vez como constante. A derivada de
em relação a
é:
E a derivada de
Passo 3
Agora, as derivadas de segunda ordem. Primeiro
, derivando
em relação a
(com
constante):
A derivada mista
Da mesma forma, a derivada mista
vem de derivar
em relação a
:
Por fim, a derivada de segunda ordem em relação a
já que
não depende de
.
Resposta
As derivadas parciais de primeira e segunda ordem são: