Determine as derivadas parciais ∂ f / ∂ x e ∂ f / ∂ y das funções de duas variáveis.
f(x, y)=\frac{x \sin (y)}{\cos \left(x^{2}+y^{2}\right)}\

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y} da função
f(x,y)=\frac{x\sin(y)}{\cos\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)}.
Informações dadas:
  • A função é de duas variáveis x e y.
  • O numerador é x\sin(y).
  • O denominador é \cos\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr).

Passo 2

O que vamos usar (relembrando as regras de cálculo de derivadas parciais):
  • Definição: a derivada parcial de f em relação a x é a derivada da função mantendo y fixo; análoga para y.
  • Regra do produto (para funções de duas variáveis): se f=gh, então
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial g}{\partial x}\,h+g\,\frac{\partial h}{\partial x}.
  • Regra da cadeia (se h(x,y)=H(u(x,y)), então \partial_x h = H'(u)\,\partial_x u).
  • Derivadas elementares: \frac{d}{du}\sin u=\cos u,\qquad \frac{d}{du}\cos u=-\sin u,\qquad \frac{d}{du}\operatorname{sec} u=\operatorname{sec} u\tan u.
Observação prática: é conveniente reescrever f como produto usando \operatorname{sec}:
f(x,y)=\bigl(x\sin y\bigr)\cdot\operatorname{sec}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr).
Para organizar os cálculos, defina
g(x,y)=x\sin y,\qquad h(x,y)=\operatorname{sec}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr).
Também note a função auxiliar
u(x,y)=x^{2}+y^{2}.

Passo 3

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial x}.
  1. Derivada parcial de g em relação a x:
\frac{\partial g}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\sin y\bigr)=\sin y,
porque \sin y é tratado como constante ao derivar em x.
  1. Derivada parcial de h em relação a x usando regra da cadeia:
h(x,y)=\operatorname{sec}\bigl(u(x,y)\bigr),\quad u(x,y)=x^{2}+y^{2}.
Primeiro \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}=2x.
Depois, pela regra da cadeia e pela derivada de \operatorname{sec},
\frac{\partial h}{\partial x}=\operatorname{sec}\bigl(u\bigr)\tan\bigl(u\bigr)\cdot\frac{\partial u}{\partial x} =\operatorname{sec}\bigl(u\bigr)\tan\bigl(u\bigr)\cdot 2x.
  1. Agora aplique a regra do produto:
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{\partial g}{\partial x}\,h+g\,\frac{\partial h}{\partial x} =\sin y\cdot\operatorname{sec}\bigl(u\bigr) + x\sin y\cdot\bigl(\operatorname{sec}\bigl(u\bigr)\tan\bigl(u\bigr)\cdot 2x\bigr).

Passo 4

Simplificação e formas alternativas para \dfrac{\partial f}{\partial x}.
Fatorando termos comuns \sin y e \operatorname{sec}(u):
\frac{\partial f}{\partial x} =\sin y\,\operatorname{sec}\bigl(u\bigr)\Bigl(1+2x^{2}\tan\bigl(u\bigr)\Bigr).
Substituindo u=x^{2}+y^{2} de volta, uma forma final conveniente é
\frac{\partial f}{\partial x} =\sin y\;\operatorname{sec}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\Bigl(1+2x^{2}\tan\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\Bigr).
Se preferir escrever usando cossenos e senos:
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{\sin y}{\cos\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)} +\frac{2x^{2}\sin y\sin\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)}{\cos^{2}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)}.

Passo 5

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial y}.
  1. Derivada parcial de g em relação a y:
\frac{\partial g}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x\sin y\bigr)=x\cos y,
pois x é tratado como constante ao derivar em y.
  1. Derivada parcial de h em relação a y (regra da cadeia):
\frac{\partial u}{\partial y}=2y,
\frac{\partial h}{\partial y}=\operatorname{sec}\bigl(u\bigr)\tan\bigl(u\bigr)\cdot\frac{\partial u}{\partial y} =\operatorname{sec}\bigl(u\bigr)\tan\bigl(u\bigr)\cdot 2y.
  1. Aplicando a regra do produto:
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{\partial g}{\partial y}\,h+g\,\frac{\partial h}{\partial y} = x\cos y\cdot\operatorname{sec}\bigl(u\bigr) + x\sin y\cdot\bigl(\operatorname{sec}\bigl(u\bigr)\tan\bigl(u\bigr)\cdot 2y\bigr).

Passo 6

Simplificação e formas alternativas para \dfrac{\partial f}{\partial y}.
Fatorando x e \operatorname{sec}(u):
\frac{\partial f}{\partial y} =x\,\operatorname{sec}\bigl(u\bigr)\Bigl(\cos y + 2y\sin y\,\tan\bigl(u\bigr)\Bigr).
Substituindo u=x^{2}+y^{2},
\frac{\partial f}{\partial y} =x\,\operatorname{sec}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\Bigl(\cos y + 2y\sin y\,\tan\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\Bigr).
Forma usando cosseno/seno:
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{x\cos y}{\cos\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)} +\frac{2xy\sin y\sin\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)}{\cos^{2}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)}.

Passo 7

Comentário prático para a prova: escolhi reescrever como produto x\sin y\cdot\operatorname{sec}(x^{2}+y^{2}) porque a regra do produto + cadeia evita frações longas do quociente e torna as derivações mais claras. Se preferir, pode aplicar diretamente a regra do quociente; o resultado será equivalente.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x} =\sin y\;\operatorname{sec}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\Bigl(1+2x^{2}\tan\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\Bigr)
\frac{\partial f}{\partial y} =x\;\operatorname{sec}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\Bigl(\cos y + 2y\sin y\;\tan\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\Bigr)

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