Determine as derivadas parciais
e
das funções de duas variáveis.
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais
e
da função
Informações dadas:
- A função é de duas variáveis
e . - O numerador é
. - O denominador é
.
Passo 2
O que vamos usar (relembrando as regras de cálculo de derivadas parciais):
- Definição: a derivada parcial de
em relação a é a derivada da função mantendo fixo; análoga para . - Regra do produto (para funções de duas variáveis): se
, então
- Regra da cadeia (se
, então ). - Derivadas elementares:
Observação prática: é conveniente reescrever
como produto usando
:
Para organizar os cálculos, defina
Também note a função auxiliar
Passo 3
Cálculo de
.
- Derivada parcial de
em relação a :
porque
é tratado como constante ao derivar em
.
- Derivada parcial de
em relação a usando regra da cadeia:
Primeiro
.
Depois, pela regra da cadeia e pela derivada de ,
Depois, pela regra da cadeia e pela derivada de
- Agora aplique a regra do produto:
Passo 4
Simplificação e formas alternativas para
.
Fatorando termos comuns
e
:
Substituindo
de volta, uma forma final conveniente é
Se preferir escrever usando cossenos e senos:
Passo 5
Cálculo de
.
- Derivada parcial de
em relação a :
pois
é tratado como constante ao derivar em
.
- Derivada parcial de
em relação a (regra da cadeia):
- Aplicando a regra do produto:
Passo 6
Simplificação e formas alternativas para
.
Fatorando
e
:
Substituindo
,
Forma usando cosseno/seno:
Passo 7
Comentário prático para a prova: escolhi reescrever como produto
porque a regra do produto + cadeia evita frações longas do quociente e torna as derivações mais claras. Se preferir, pode aplicar diretamente a regra do quociente; o resultado será equivalente.