Determine as derivadas parciais ∂ f / ∂ x e ∂ f / ∂ y das funções de duas variáveis.
f(x, y)=\frac{x^{3}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede para determinar as derivadas parciais \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y} da função
f(x,y)=\frac{x^{3}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}}.
Informações relevantes:
  • A função é uma razão de duas funções de x e y; podemos tomar u(x,y)=x^{3}+y^{2} e v(x,y)=x^{2}+y^{2}.
  • A função não está definida quando x^{2}+y^{2}=0, isto é, no ponto (0,0). As derivadas parciais abaixo serão válidas para (x,y)\neq(0,0).
  • O que se pede: calcular as derivadas parciais em relação a x e em relação a y.

Passo 2

Definição e método: a derivada parcial de f em relação a x, denotada \dfrac{\partial f}{\partial x}, é a derivada da função obtida ao considerar y constante e derivar em relação a x. Analogamente para \dfrac{\partial f}{\partial y}. Para quocientes de funções vamos usar a regra do quociente válida também para funções de duas variáveis:
\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u_x\,v - u\,v_x}{v^{2}}, \qquad \frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u_y\,v - u\,v_y}{v^{2}},
onde u_x=\dfrac{\partial u}{\partial x}, u_y=\dfrac{\partial u}{\partial y}, v_x=\dfrac{\partial v}{\partial x}, v_y=\dfrac{\partial v}{\partial y}. Agora identificamos u e v e calculamos suas derivadas parciais básicas:
u(x,y)=x^{3}+y^{2}\quad\Rightarrow\quad u_x=3x^{2},\quad u_y=2y,
v(x,y)=x^{2}+y^{2}\quad\Rightarrow\quad v_x=2x,\quad v_y=2y.
(Aqui usei a ideia simples: ao derivar em relação a x mantenho y fixo e vice-versa; por exemplo \dfrac{\partial}{\partial x}(x^{3})=3x^{2} e \dfrac{\partial}{\partial x}(y^{2})=0 porque y é tratado como constante.)

Passo 3

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial x} aplicando a regra do quociente:
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{u_x\,v - u\,v_x}{v^{2}} =\frac{3x^{2}(x^{2}+y^{2}) - (x^{3}+y^{2})\cdot 2x}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Agora desenvolvo e simplifico o numerador passo a passo:
3x^{2}(x^{2}+y^{2})=3x^{4}+3x^{2}y^{2},
(x^{3}+y^{2})\cdot 2x=2x^{4}+2x y^{2}.
Subtraindo:
\text{numerador} = (3x^{4}+3x^{2}y^{2}) - (2x^{4}+2x y^{2}) =3x^{4}-2x^{4}+3x^{2}y^{2}-2x y^{2}.
Agrupando os termos:
\text{numerador}=x^{4}+3x^{2}y^{2}-2x y^{2}.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{x^{4}+3x^{2}y^{2}-2x y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.

Passo 4

Observação de fatoração (opcional, para deixar mais compacto): podemos escrever o numerador de formas equivalentes,
x^{4}+3x^{2}y^{2}-2x y^{2}=x^{4}+y^{2}(3x^{2}-2x)=x\bigl(x^{3}+y^{2}(3x-2)\bigr),
mas todas essas expressões são equivalentes; a forma escolhida é questão de gosto. A expressão principal para \dfrac{\partial f}{\partial x} é a do passo anterior.

Passo 5

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial y} pela regra do quociente:
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{u_y\,v - u\,v_y}{v^{2}} =\frac{2y(x^{2}+y^{2}) - (x^{3}+y^{2})\cdot 2y}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Desenvolvendo o numerador:
2y(x^{2}+y^{2})=2y x^{2}+2y^{3},
(x^{3}+y^{2})\cdot 2y=2y x^{3}+2y^{3}.
Subtraindo:
\text{numerador}= (2y x^{2}+2y^{3}) - (2y x^{3}+2y^{3}) =2y x^{2}-2y x^{3}.
Fatorando 2y x^{2}:
\text{numerador}=2y x^{2}(1-x).
Portanto
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{2x^{2}y(1-x)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.

Passo 6

Resumo e observação final: as derivadas parciais acima valem para (x,y)\neq(0,0). Se for preciso avaliar limites em torno de (0,0) ou estudar continuidade/diferenciabilidade aí seria necessário um trabalho à parte. Força nos estudos — essa técnica (identificar u e v, calcular u_x,u_y,v_x,v_y e aplicar a regra do quociente) funciona bem para muitos exercícios parecidos.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{x^{4}+3x^{2}y^{2}-2x y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{2x^{2}y(1-x)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}

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