Determine as derivadas parciais
e
das funções de duas variáveis.
Passo 1
O enunciado pede para determinar as derivadas parciais
e
da função
Informações relevantes:
- A função é uma razão de duas funções de
e ; podemos tomar e . - A função não está definida quando
, isto é, no ponto . As derivadas parciais abaixo serão válidas para . - O que se pede: calcular as derivadas parciais em relação a
e em relação a .
Passo 2
Definição e método: a derivada parcial de
em relação a
, denotada
, é a derivada da função obtida ao considerar
constante e derivar em relação a
. Analogamente para
. Para quocientes de funções vamos usar a regra do quociente válida também para funções de duas variáveis:
onde
,
,
,
. Agora identificamos
e
e calculamos suas derivadas parciais básicas:
(Aqui usei a ideia simples: ao derivar em relação a
mantenho
fixo e vice-versa; por exemplo
e
porque
é tratado como constante.)
Passo 3
Cálculo de
aplicando a regra do quociente:
Agora desenvolvo e simplifico o numerador passo a passo:
Subtraindo:
Agrupando os termos:
Portanto
Passo 4
Observação de fatoração (opcional, para deixar mais compacto): podemos escrever o numerador de formas equivalentes,
mas todas essas expressões são equivalentes; a forma escolhida é questão de gosto. A expressão principal para
é a do passo anterior.
Passo 5
Cálculo de
pela regra do quociente:
Desenvolvendo o numerador:
Subtraindo:
Fatorando
:
Portanto
Passo 6
Resumo e observação final: as derivadas parciais acima valem para
. Se for preciso avaliar limites em torno de
ou estudar continuidade/diferenciabilidade aí seria necessário um trabalho à parte. Força nos estudos — essa técnica (identificar
e
, calcular
e aplicar a regra do quociente) funciona bem para muitos exercícios parecidos.