Determine as derivadas parciais ∂ f / ∂ x e ∂ f / ∂ y das funções de duas variáveis.
f(x, y)=raiz2 x^3-3 y^2

Passo 1

A função é f(x,y)=√(2x³−3y²). O conteúdo aqui é derivada parcial de função composta de duas variáveis e vamos precisar usar a regra da cadeia: derivada da raiz quadrada e derivadas parciais do interior 2x³−3y².

Passo 2

Primeiro, defino u(x,y)=2x³−3y² e escrevo f(x,y)=√u. Pela regra da cadeia para derivadas parciais, temos ∂f/∂x = (df/du)·(∂u/∂x). A derivada de g(u)=√u é g’(u)=1/(2√u). E ∂u/∂x=6x². Logo,
Segue o cálculo em detalhe:
partial fpartial x=12raizucdot6x^2=6x^22raiz2x^3-3y^2=3x^2raiz2x^3-3y^2

Passo 3

Para ∂f/∂y, uso a mesma estratégia: ∂f/∂y=(df/du)·(∂u/∂y). Já sabemos df/du=1/(2√u) e ∂u/∂y=−6y. Então:
partial fpartial y=12raiz2x^3-3y^2cdot(-6y)=-6y2raiz2x^3-3y^2=-3yraiz2x^3-3y^2

Resposta

partial fpartial x=3x^2raiz2x^3-3y^2, partial fpartial y=-3yraiz2x^3-3y^2

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