Determine as derivadas parciais
e
das funções de duas variáveis.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais $ \frac{\partial f}{\partial x} $ e $ \frac{\partial f}{\partial y} $ da função de duas variáveis dada por:
Para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais, que basicamente é derivar a função em relação a uma variável enquanto mantém a outra constante.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x} $.
Quando derivamos em relação a $ x $, tratamos $ y $ como se fosse uma constante. Vamos derivar cada termo da função:
-
Termo $ 5x{4}y{2} $:
- A derivada de $ x^{4} $ em relação a $ x $ é $ 4x^{3} $.
- Multiplicamos isso por $ 5y^{2} $, que é a constante.
- Então, a derivada desse termo é $ 5y^{2} \cdot 4x^{3} = 20x{3}y{2} $.
-
Termo $ -5xy^{3} $:
- A derivada de $ x $ em relação a $ x $ é $ 1 $.
- Multiplicamos isso por $ -5y^{3} $, que é a constante.
- Então, a derivada desse termo é $ -5y^{3} \cdot 1 = -5y^{3} $.
-
Termo constante $ 6 $:
- A derivada de uma constante é $ 0 $.
Agora, somamos todas as derivadas dos termos:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial y} $.
Dessa vez, tratamos $ x $ como constante ao derivar em relação a $ y $. Vamos derivar cada termo da função:
-
Termo $ 5x{4}y{2} $:
- A derivada de $ y^{2} $ em relação a $ y $ é $ 2y $.
- Multiplicamos isso por $ 5x^{4} $, que é a constante.
- Então, a derivada desse termo é $ 5x^{4} \cdot 2y = 10x^{4}y $.
-
Termo $ -5xy^{3} $:
- A derivada de $ y^{3} $ em relação a $ y $ é $ 3y^{2} $.
- Multiplicamos isso por $ -5x $, que é a constante.
- Então, a derivada desse termo é $ -5x \cdot 3y^{2} = -15xy^{2} $.
-
Termo constante $ 6 $:
- A derivada de uma constante é $ 0 $.
Agora, somamos todas as derivadas dos termos:
Resposta
As derivadas parciais da função $ f(x, y) = 5x{4}y{2} - 5xy^{3} + 6 $ são:
e