Determine as derivadas parciais ∂ f / ∂ x e ∂ f / ∂ y das funções de duas variáveis.
z=x^y

Passo 1

Temos a função de duas variáveis definida por f(x,y)=x^y. O objetivo é encontrar as derivadas parciais partial f/partial x e partial f/partial y. Vamos usar o conceito de derivada parcial, que consiste em derivar em relação a uma variável mantendo a outra fixa, e, quando necessário, a técnica de diferenciação de funções exponenciais através de logaritmo.

Passo 2

Para calcular partial f/partial x, tratamos y como constante. Como x^y é uma função potência em x de expoente fixo, aplicamos a fórmula de derivada de potência:
partialpartial xl(x^yr)=y,x^y-1

Passo 3

Para calcular partial f/partial y, tratamos x como constante. Podemos reescrever x^y como e^yln x e depois derivar em relação a y:
partialpartial yl(e^yln xr)=e^yln xcdotln x
Voltando à forma original de f(x,y), isso dá
partial fpartial y=x^yln x

Resposta

As derivadas parciais são
partial fpartial x=y,x^y-1,partial fpartial y=x^yln x

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