Encontre as funções:
i. f circ g
ii. g circ f
iii. f circ f
iv. g circ g
f(x)=raiz2 x+3, g(x)=x^2+1

Passo 1

A questão dá as funções f(x)=raiz2x+3 e g(x)=x^2+1 e pede para achar todas as composições entre elas. O conteúdo é composição de funções, então vamos usar a definição de (fcirc g)(x)=f(g(x)) e similar para as outras.

Passo 2

Na teoria de composição, para duas funções h e k definimos
(hcirc k)(x)=hl(k(x)r)
Isso significa que primeiro a gente aplica k em x e depois aplica h no resultado.

Passo 3

Para fcirc g fazemos
(fcirc g)(x)=fl(g(x)r)=f(x^2+1)=raiz2(x^2+1)+3=raiz2x^2+5

Passo 4

Para gcirc f temos
(gcirc f)(x)=gl(f(x)r)=gl(raiz2x+3r)=(raiz2x+3)^2+1=2x+3+1=2x+4

Passo 5

Para fcirc f fazemos a composição de f consigo mesma:
(fcirc f)(x)=fl(f(x)r)=fl(raiz2x+3r)=raiz2raiz2x+3+3

Passo 6

Para gcirc g compondo g consigo mesma:
(gcirc g)(x)=gl(g(x)r)=g(x^2+1)=(x^2+1)^2+1=x^4+2x^2+2

Resposta

i. (fcirc g)(x)=raiz2x^2+5
ii. (gcirc f)(x)=2x+4
iii. (fcirc f)(x)=raiz2raiz2x+3+3
iv. (gcirc g)(x)=x^4+2x^2+2

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