Determine as derivadas parciais:
f(x, y)=x^2+y^3x^2+y^2

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para encontrar as derivadas parciais da função . Isso está dentro do conteúdo de cálculo diferencial, mais especificamente de derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar aplicar as regras de derivação de funções de várias variáveis e usar a regra do quociente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função de duas variáveis, como , a derivada parcial em relação a mede como a função muda quando só variamos , mantendo constante. O mesmo vale para a derivada parcial em relação a .

Passo 3

Vamos começar encontrando a derivada parcial de ddx(uv) = v cdot dudx - u cdot dvdxv^2 em relação a , ou seja, .
A função é um quociente, então vamos usar a regra do quociente para derivadas. A regra do quociente diz que:
Aqui, e .

Passo 4

Vamos calcular dudx = ddx(x^2 + y^3) = 2x + 0 = 2x e dvdx = ddx(x^2 + y^2) = 2x + 0 = 2x :
Note que é tratado como uma constante quando derivamos em relação a .

Passo 5

Agora, aplicamos a regra do quociente:
partial fpartial x = (x^2 + y^2) cdot 2x - (x^2 + y^3) cdot 2x(x^2 + y^2)^2

Passo 6

Vamos simplificar o numerador:
(x^2 + y^2) cdot 2x - (x^2 + y^3) cdot 2x = 2x(x^2 + y^2 - x^2 - y^3) = 2x(y^2 - y^3)
Então,
partial fpartial x = 2x(y^2 - y^3)(x^2 + y^2)^2 = 2x y^2(1 - y)(x^2 + y^2)^2

Passo 7

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de ddy(uv) = v cdot dudy - u cdot dvdyv^2 em relação a , ou seja, .
Novamente, usamos a regra do quociente:
Onde e .

Passo 8

Vamos calcular dudy = ddy(x^2 + y^3) = 0 + 3y^2 = 3y^2 e dvdy = ddy(x^2 + y^2) = 0 + 2y = 2y :

Passo 9

Aplicando a regra do quociente:
partial fpartial y = (x^2 + y^2) cdot 3y^2 - (x^2 + y^3) cdot 2y(x^2 + y^2)^2

Passo 10

Simplificando o numerador:
(x^2 + y^2) cdot 3y^2 - (x^2 + y^3) cdot 2y = 3y^2(x^2 + y^2) - 2y(x^2 + y^3) = 3x^2y^2 + 3y^4 - 2x^2y - 2y^4 = 3x^2y^2 - 2x^2y + y^4
Então,
partial fpartial y = 3x^2y^2 - 2x^2y + y^4(x^2 + y^2)^2

Resposta

As derivadas parciais da função partial fpartial x = 2x y^2(1 - y)(x^2 + y^2)^2 são:
partial fpartial y = 3x^2y^2 - 2x^2y + y^4(x^2 + y^2)^2
e

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