Determine as derivadas parciais:
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício pede para encontrar as derivadas parciais da função
. Isso está dentro do conteúdo de cálculo diferencial, mais especificamente de derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar aplicar as regras de derivação de funções de várias variáveis e usar a regra do quociente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função de duas variáveis, como
, a derivada parcial em relação a
mede como a função muda quando só variamos
, mantendo
constante. O mesmo vale para a derivada parcial em relação a
.
Passo 3
Vamos começar encontrando a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função
é um quociente, então vamos usar a regra do quociente para derivadas. A regra do quociente diz que:
Aqui,
e
.
Passo 4
Vamos calcular
e
:
Note que
é tratado como uma constante quando derivamos em relação a
.
Passo 5
Agora, aplicamos a regra do quociente:
Passo 6
Vamos simplificar o numerador:
Então,
Passo 7
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Novamente, usamos a regra do quociente:
Onde
e
.
Passo 8
Vamos calcular
e
:
Passo 9
Aplicando a regra do quociente:
Passo 10
Simplificando o numerador:
Então,
Resposta
As derivadas parciais da função
são:
e