Determine as derivadas parciais:
f(x, y)=3 x^4 y^2-x y^3+9

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as derivadas parciais da função . Isso está relacionado ao estudo de cálculo diferencial, mais especificamente às derivadas parciais, que são usadas quando temos funções de mais de uma variável. Para resolver, vamos precisar aplicar as regras básicas de derivação em relação a cada variável, tratando a outra como constante.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de partialpartial x(3x^4y^2) = 3 cdot 4x^3y^2 = 12x^3y^2 em relação a partialpartial x(-xy^3) = -y^3 , que a gente denota por partial fpartial x = 12x^3y^2 - y^3 . Quando derivamos em relação a , tratamos como uma constante. Vamos derivar cada termo da função:
  • Para , tratamos como constante. A derivada de é , então:
  • Para , é constante. A derivada de em relação a é 1, então:
  • O termo constante tem derivada zero.
Juntando tudo:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partialpartial y(3x^4y^2) = 3x^4 cdot 2y = 6x^4y em relação a partialpartial y(-xy^3) = -x cdot 3y^2 = -3xy^2 , representada por partial fpartial y = 6x^4y - 3xy^2 . Desta vez, tratamos como constante e derivamos em relação a :
  • Para , é constante. A derivada de é , então:
  • Para , é constante. A derivada de é , então:
  • Novamente, o termo constante tem derivada zero.
Somando tudo:

Resposta

As derivadas parciais da função são:
partial fpartial x = 12x^3y^2 - y^3
e
partial fpartial y = 6x^4y - 3xy^2

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