Questão 6: Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: .
Passo 1
Vamos lá! Você me passou a série e quer saber se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. O conteúdo aqui envolve séries infinitas e os testes de convergência. Para resolver, vamos precisar verificar primeiro a convergência absoluta e, se não for o caso, analisar a convergência condicional.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta. Isso significa que a gente ignora o sinal alternado e olha apenas para os valores positivos dos termos da série. Então, vamos considerar a série:
Passo 3
Agora, precisamos verificar se essa nova série sumn=1^infty n2n-1 converge ou diverge. Observando o comportamento dos termos, percebemos que, para valores grandes de n, a fração n2n-1 se aproxima de 12. Ou seja:
limn to infty n2n-1 = 12
Passo 4
Segundo o Teste da Divergência, se o limite dos termos da série não for zero, a série diverge. Como vimos que o limite é 12 neq 0, concluímos que a série sumn=1^infty n2n-1diverge.
Passo 5
Como a série dos valores absolutos diverge, ela não é absolutamente convergente. Agora, vamos verificar a convergência condicional da série original sumn=1^infty (-1)^n n2n-1.
Passo 6
Para isso, usamos o Teste da Série Alternada, que diz que a série sum (-1)^n an converge condicionalmente se:
Os termos an forem decrescentes.
O limite de an for zero.
No nosso caso, an = n2n-1.
Passo 7
Primeiro, verificamos o limite:
limn to infty n2n-1 = 12 neq 0
Como o limite não é zero, segundo o teste, a série não converge condicionalmente.