Questão 6: Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita: . O objetivo aqui é descobrir se essa série converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre convergência de séries e aplicar alguns testes básicos.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre convergência absoluta. Uma série converge absolutamente se a série dos valores absolutos dela também converge. Ou seja, se a gente tirar o para deixar tudo positivo, a série ainda vai dar certo? Se sim, então a série original converge absolutamente. Se não, a gente verifica se a série original ainda converge de alguma forma (convergência condicional).
Passo 3
Vamos verificar a série dos valores absolutos:
Essa série é conhecida como a série exponencial e sabemos que:
sumn=0^infty x^nn! = e^x
Para qualquer valor de x, essa série sempre converge. No nosso caso, x = 3, então:
sumn=0^infty 3^nn! = e^3
O que significa que a série dos valores absolutos converge.
Passo 4
Já que a série dos valores absolutos converge, podemos concluir que a série original também converge absolutamente. Isso porque a convergência absoluta garante que a série original, mesmo com os sinais alternados, também é convergente.
Resposta
A série sumn=0^infty(-1)^n 3^nn! é absolutamente convergente.