Determine onde a função abaixo é contínua. Em seguida, esboce seu gráfico. Caso haja pontos de descontinuidade, classifique seus tipos.
Passo 1
Resumindo, a função é definida por partes em três intervalos: f(x)=e^x+1 para x<=0, f(x)=-x^2+x para 0 e f(x)=ln(x-1) para x>1. Vamos usar a definição de continuidade (limite igual ao valor da função) e estudar limites laterais.
Sabendo que as funções elementares são contínuas em seus domínios, temos: e^x+1 é contínua em ( -infty,0], -x^2+x é contínua em [0,1] e ln(x-1) é contínua em (1,infty). Logo, em cada intervalo interior ((-infty,0), (0,1), (1,infty)) a função é contínua.
Passo 2
No ponto x=0, calcule os limites laterais: limxto0^-f(x)=e^0+1=2 e limxto0^+f(x)=-0^2+0=0. Como f(0)=e^0+1=2, há descontinuidade de salto (os limites laterais não coincidem).
Passo 3
No ponto x=1, temos limxto1^-f(x)=-1+1=0 e limxto1^+f(x)=ln(1-1)=ln0=-infty. A função vale f(1)=-1+1=0, mas o limite direito é não finito, caracterizando descontinuidade infinita.
Passo 4
Concluindo, f é contínua em ( -infty,0), (0,1) e (1,infty), descontinua em x=0 (salto) e em x=1 (infinita).
Passo 5
Esboço do gráfico: 1) para x<=0, curva y=e^x+1 que em x=0 atinge y=2 (ponto cheio); 2) para 0, ramo de parábola y=-x^2+x com ponto aberto em (0,0) e ponto cheio em (1,0); 3) para x>1, curva y=ln(x-1) que diverge a -infty em xto1^+ e cresce depois.
Resposta
A função é contínua em (-∞,0), (0,1) e (1,∞); apresenta descontinuidade de salto em x=0 e descontinuidade infinita em x=1.