Determine a solução geral da equação diferencial dada, válida em qualquer intervalo que não inclui o ponto singular
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a solução geral da equação diferencial
Essa é uma equação diferencial do tipo Cauchy-Euler, que é especial porque a variável independente, aqui o $ x $, está multiplicando as derivadas de $ y $. Para resolver, vamos usar métodos específicos para esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução tem a forma $ y = x^{m} $, onde $ m $ é um número que a gente precisa descobrir. Essa suposição é comum para equações Cauchy-Euler porque as potências de $ x $ costumam resolver essas equações.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de $ y $ com respeito a $ x $:
- A primeira derivada:
- A segunda derivada:
Passo 4
Vamos substituir $ y $, $ y’ $ e $ y’’ $ na equação original:
Simplificando os termos:
Fatorando $ x^{m} $:
Como $ x^{m} $ não é zero para $ x \neq 0 $, ficamos com:
Passo 5
Vamos resolver a equação quadrática para $ m $:
Dividindo todos os termos por 2 para simplificar:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Encontramos raízes complexas da forma $ m = \alpha \pm \beta i $, onde $ \alpha = \frac{3}{2} $ e $ \beta = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Passo 6
Quando temos raízes complexas na forma $ m = \alpha \pm \beta i $, a solução geral da equação diferencial é:
Substituindo $ \alpha $ e $ \beta $:
Onde $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes arbitrárias.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
onde $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes arbitrárias.