Determine a solução geral da equação diferencial dada, válida em qualquer intervalo que não inclui o ponto singular
2 x^2 y^prime prime-4 x y^prime+6 y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a solução geral da equação diferencial
2x^2 y'' - 4x y' + 6y = 0
Essa é uma equação diferencial do tipo Cauchy-Euler, que é especial porque a variável independente, aqui o $ x $, está multiplicando as derivadas de $ y $. Para resolver, vamos usar métodos específicos para esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução tem a forma $ y = x^{m} $, onde $ m $ é um número que a gente precisa descobrir. Essa suposição é comum para equações Cauchy-Euler porque as potências de $ x $ costumam resolver essas equações.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de $ y $ com respeito a $ x $:
  • A primeira derivada: y
  • A segunda derivada: x

Passo 4

Vamos substituir $ y $, $ y’ $ e $ y’’ $ na equação original:
y
Simplificando os termos:
y'
Fatorando $ x^{m} $:
y''
Como $ x^{m} $ não é zero para $ x \neq 0 $, ficamos com:
2x^2 cdot m(m-1)x^m-2 - 4x cdot m x^m-1 + 6x^m = 0

Passo 5

Vamos resolver a equação quadrática para $ m $:
m
Dividindo todos os termos por 2 para simplificar:
2m^2 - 2m - 4m + 6 = 0 2m^2 - 6m + 6 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
m^2 - 3m + 3 = 0
Encontramos raízes complexas da forma $ m = \alpha \pm \beta i $, onde $ \alpha = \frac{3}{2} $ e $ \beta = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Passo 6

Quando temos raízes complexas na forma $ m = \alpha \pm \beta i $, a solução geral da equação diferencial é:
m = alpha pm beta i
Substituindo $ \alpha $ e $ \beta $:
y(x) = x^alpha [C1 cos(beta ln x) + C2 sin(beta ln x)]
Onde $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes arbitrárias.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y(x) = x^32 [ C1 cos(raiz32 ln x) + C2 sin(raiz32 ln x) ],
onde $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes arbitrárias.

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