Determine as derivadas parciais da função: z=(x^2-x y+y^2)^4.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
z = l(x^2 - x,y + y^2r)^4
O conteúdo aqui é cálculo de derivadas parciais usando a regra da cadeia.

Passo 2

Definimos a função intermediária
u = x^2 - x,y + y^2,
de modo que z = u^4. A regra da cadeia para derivadas parciais diz que
partial zpartial x = 4,u^3,partial upartial x
Agora calculamos
partial upartial x = partialpartial x(x^2) ;-;partialpartial x(x,y) ;+;partialpartial x(y^2) = 2x - y + 0 = 2x - y
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partial zpartial x = 4l(x^2 - x,y + y^2r)^3,(2x - y)

Passo 3

De modo análogo, para a derivada em relação a y temos
partial zpartial y = 4,u^3,partial upartial y
Calculamos
partial upartial y = partialpartial y(x^2) ;-;partialpartial y(x,y) ;+;partialpartial y(y^2) = 0 - x + 2y = -x + 2y
Portanto
partial zpartial y = 4l(x^2 - x,y + y^2r)^3,(-x + 2y)

Resposta

partial zpartial x = 4l(x^2 - x,y + y^2r)^3,(2x - y), partial zpartial y = 4l(x^2 - x,y + y^2r)^3,(-x + 2y)

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