Exercício 56. Seja z=f(x, y) diferenciável em (x0, y0). Seja S a função afim dada por S(x, y)=a(x-x0)+b(y-y0)+c. Suponha que
f(x, y)=S(x, y)+E(x, y) , de modo que lim (x, y) (x0, y0) E(x, y)|(x, y)-(x0, y0)|=0

Passo 1

O enunciado afirma que fcolon R^2to R é diferenciável em l(x0,y0r). Por definição de diferenciabilidade, existe uma função afim (o aproximador linear)
L(x,y)=f(x0,y0)+fx(x0,y0),(x-x0)+fy(x0,y0),(y-y0)
e um erro R(x,y) tal que
f(x,y)=L(x,y)+R(x,y),lim(x,y)to(x0,y0)R(x,y)|(x,y)-(x0,y0)|=0
No exercício, em vez de L escrevem uma genérica
S(x,y)=a,(x-x0)+b,(y-y0)+c
e definem E(x,y)=f(x,y)-S(x,y) com a mesma condição de pequeno-erro. O objetivo é mostrar que necessariamente
c=f(x0,y0), a=fx(x0,y0), b=fy(x0,y0)

Passo 2

Determinar c. Avaliando em (x,y)=(x0,y0), temos
f(x0,y0)=S(x0,y0)+E(x0,y0)
mas |(x0,y0)-(x0,y0)|=0 e a condição
lim(x,y)to(x0,y0)E(x,y)/|(x,y)-(x0,y0)|=0
implica que E(x0,y0)=0. Logo
f(x0,y0)=S(x0,y0)=acdot0+bcdot0+c=c
e concluímos
c=f(x0,y0)

Passo 3

Determinar a. Considere a aproximação ao longo da reta y=y0. Para hto0 definimos (x,y)=(x0+h,y0). Então
f(x0+h,y0) =S(x0+h,y0)+E(x0+h,y0) =a,h + c + E(x0+h,y0)
Subtraindo f(x0,y0)=c e dividindo por hneq0,
f(x0+h,y0)-f(x0,y0)h =a + E(x0+h,y0)h
Como l|(x0+h,y0)-(x0,y0)r|=|h|, a condição de erro implica E(x0+h,y0)hto0. Portanto
fx(x0,y0) =limhto0f(x0+h,y0)-f(x0,y0)h =a

Passo 4

Determinar b. De modo análogo, aproxime por x=x0 e y=y0+k. Para kto0
f(x0,y0+k) =S(x0,y0+k)+E(x0,y0+k) =b,k + c + E(x0,y0+k)
Dividindo a diferença por k e fazendo kto0, o termo de erro some, restando
fy(x0,y0) =limkto0f(x0,y0+k)-f(x0,y0)k =b

Resposta

a = fx(x0,y0), b = fy(x0,y0), c = f(x0,y0)

Exercícios relacionados