Exercício 56. Seja
diferenciável em
. Seja
a função afim dada por
. Suponha que
Passo 1
O enunciado afirma que
é diferenciável em
. Por definição de diferenciabilidade, existe uma função afim (o aproximador linear)
e um erro
tal que
No exercício, em vez de
escrevem uma genérica
e definem
com a mesma condição de pequeno-erro. O objetivo é mostrar que necessariamente
Passo 2
Determinar
. Avaliando em
, temos
mas
e a condição
implica que . Logo
implica que
e concluímos
Passo 3
Determinar
. Considere a aproximação ao longo da reta
. Para
definimos
. Então
Subtraindo
e dividindo por
,
Como
, a condição de erro implica
E(x0+h,y0)hto0 . Portanto
Passo 4
Determinar
b . De modo análogo, aproxime por
x=x0 e
y=y0+k . Para
kto0
Dividindo a diferença por
k e fazendo
kto0 , o termo de erro some, restando