Exercício 58. Seja z=x e x^2-y^2.
(a) Calcule um valor aproximado para a variação De<a z em z, quando se passa de x=1 e y=1 para x=1,01 e y=1,002.
(b) Calcule um valor aproximado para z, correspondente a x=1,01 e y=1,002.

Passo 1

O enunciado dá a função
z(x,y)=x,e^,x^2-y^2
e pede (a) um valor aproximado para a variação De<a z ao passar de (x,y)=(1,1) para (1,01,,1,002) e (b) o valor aproximado de z nesse novo ponto. Vamos usar a aproximação de primeira ordem (diferencial total):
De<a zapprox dz = zx,De<a x + zy,De<a y

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
zx = partialpartial xl(x,e^x^2 - y^2r) = e^x^2 - y^2 + x,e^x^2 - y^2cdot 2x = e^x^2 - y^2l(1 + 2x^2r),
zy = partialpartial yl(x,e^x^2 - y^2r) = x,e^x^2 - y^2cdot(-2y) = -2,x,y,e^x^2 - y^2

Passo 3

Em (1,1) temos e^1^2-1^2=e^0=1, logo
zx(1,1)=1cdot(1+2cdot1^2)=3, zy(1,1)=-2cdot1cdot1cdot1=-2
Também De<a x=1,01-1=0,01 e De<a y=1,002-1=0,002. Assim
De<a zapprox 3cdot0,01 + (-2)cdot0,002 =0,03 - 0,004 =0,026

Passo 4

O valor de z em (1,1) é
z(1,1)=1cdot e^0=1
Portanto, o valor aproximado em (1,01,1,002) é
z(1,01,1,002)approx z(1,1)+De<a z =1 + 0,026 =1,026

Resposta

(a) De<a zapprox 0,026
(b) z(1,01,1,002)approx 1,026

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