Determine as derivadas parciais das funções:
f(x, y)=e^2 x+y^2raizx+y+ln x(y^2+3)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de f(x,y)=e^2x+y^2raizx+y+ln x,(y^2+3). O conteúdo envolve derivadas parciais, regra do quociente, regra do produto e regra da cadeia.

Passo 2

Para calcular partial f/partial x, separamos f=g+h com
g(x,y)=e^2x+y^2raizx+y,
h(x,y)=ln x,(y^2+3)
Começamos derivando g. Definimos u=e^2x+y^2 e v=(x+y)^1/2. Então partial u/partial x=2e^2x+y^2 e partial v/partial x=tfrac12(x+y)^-1/2.

Passo 3

partial gpartial x=u'v-uv'v^2=2e^2x+y^2(x+y)^1/2-tfrac12e^2x+y^2(x+y)^-1/2x+y=e^2x+y^2(4(x+y)-1)2(x+y)^3/2

Passo 4

Agora derivamos h(x,y) em relação a x. Aplicando a regra do produto e sabendo que tfracddxln x=1/x temos:
partial hpartial x=1x(y^2+3)

Passo 5

Portanto,
partial fpartial x=e^2x+y^2(4(x+y)-1)2(x+y)^3/2+y^2+3x

Passo 6

Para partial f/partial y, derivamos g reusando a estrutura anterior, mas agora partial u/partial y=2y e^2x+y^2 e partial v/partial y=tfrac12(x+y)^-1/2. Assim:
partial gpartial y=2y e^2x+y^2(x+y)^1/2-tfrac12e^2x+y^2(x+y)^-1/2x+y=e^2x+y^2(4y(x+y)-1)2(x+y)^3/2

Passo 7

Para h em relação a y, ln x é constante e (y^2+3)'=2y. Logo:
partial hpartial y=2yln x

Passo 8

Assim,
partial fpartial y=e^2x+y^2(4y(x+y)-1)2(x+y)^3/2+2yln x

Resposta

As derivadas parciais são:
partial fpartial x=e^2x+y^2(4(x+y)-1)2(x+y)^3/2+y^2+3x
partial fpartial y=e^2x+y^2(4y(x+y)-1)2(x+y)^3/2+2yln x

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