Determine as derivadas parciais das funçōes:
f(x, y)=e^2 x+y^2raizx+y+ln x(y^2+3)

Passo 1

A questão pede para encontrar as derivadas parciais de uma função de duas variáveis. O conteúdo aqui é diferenciação parcial, em que vamos usar regra do produto, regra da cadeia e regra da potência. Precisamos tratar separadamente cada termo de
f(x,y)=e^2x+y^2(x+y)^1/2+ln(x),(y^2+3)

Passo 2

Para calcular partial f/partial x a gente divide em dois termos:
  1. T1(x,y)=e^2x+y^2(x+y)^-1/2 – aqui aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia:
    • Derivada de u=e^2x+y^2 em relação a x é u' = 2e^2x+y^2.
    • Derivada de v=(x+y)^-1/2 em relação a x é v' = -tfrac12 (x+y)^-3/2.
    • Logo
    partial T1partial x=u',v + u,v'=2e^2x+y^2(x+y)^-1/2-tfrac12 e^2x+y^2(x+y)^-3/2
    2) T2(x,y)=ln(x)(y^2+3) – aqui ln(x) é função de x e (y^2+3) é tratado como constante, então
    partial T2partial x=1x,(y^2+3)
Somando os dois resultados, obtemos partial f/partial x.

Passo 3

Para calcular partial f/partial y fazemos procedimento análogo:
  1. No mesmo T1(x,y)=e^2x+y^2(x+y)^-1/2:
    • Derivada de u=e^2x+y^2 em relação a y é u'=2y,e^2x+y^2.
    • Derivada de v=(x+y)^-1/2 em relação a y é v'=-tfrac12(x+y)^-3/2.
    • Logo
    partial T1partial y=2y,e^2x+y^2(x+y)^-1/2-tfrac12 e^2x+y^2(x+y)^-3/2
    2) No T2(x,y)=ln(x)(y^2+3), agora ln(x) é constante e derivada de y^2+3 é 2y, então
    partial T2partial y=ln(x)cdot2y
Somando os dois, achamos partial f/partial y.

Resposta

partial fpartial x=2e^2x+y^2(x+y)^-1/2-tfrac12e^2x+y^2(x+y)^-3/2+y^2+3x,
partial fpartial y=2y,e^2x+y^2(x+y)^-1/2-tfrac12e^2x+y^2(x+y)^-3/2+2yln(x)

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