Determine as derivadas parciais das funções abaixo usando a regra da cadeia:
, sabendo que
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de h em relação a r e s, sabendo que h(x,y,z)=x y+z^{2} e que x=s^{2}, y=2rs, z=r^{2}. Vamos usar a regra da cadeia para funções compostas e derivadas parciais.
Passo 2
Precisamos primeiro das derivadas parciais de h em relação a x, y e z, tratando-os como variáveis independentes:
Aqui usamos que a derivada de x y em relação a x é y (produto com y constante), e de z^{2} em relação a z é 2z.
Passo 3
Agora calculamos as derivadas de x, y, z em relação a r e s:
Para x=s^{2}: ,
.
Para y=2rs: ,
.
Para z=r^{2}: ,
.
Para x=s^{2}:
Para y=2rs:
Para z=r^{2}:
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia para
:
Substituindo os valores:
O segundo termo é
O terceiro termo é
Somando, obtemos
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia para
:
Substituindo:
O último termo é zero pois
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