Determine as derivadas parciais das funções abaixo usando a regra da cadeia:
h(x, y, z)=x y+z^2, sabendo que x=s^2, y=2 r s, z=r^2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de h em relação a r e s, sabendo que h(x,y,z)=x y+z^{2} e que x=s^{2}, y=2rs, z=r^{2}. Vamos usar a regra da cadeia para funções compostas e derivadas parciais.

Passo 2

Precisamos primeiro das derivadas parciais de h em relação a x, y e z, tratando-os como variáveis independentes:
partial hpartial x=y, partial hpartial y=x, partial hpartial z=2z
Aqui usamos que a derivada de x y em relação a x é y (produto com y constante), e de z^{2} em relação a z é 2z.

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de x, y, z em relação a r e s:
Para x=s^{2}: partial x/partial r=0, partial x/partial s=2s.
Para y=2rs: partial y/partial r=2s, partial y/partial s=2r.
Para z=r^{2}: partial z/partial r=2r, partial z/partial s=0.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia para partial h/partial r:
partial hpartial r = partial hpartial x,partial xpartial r + partial hpartial y,partial ypartial r + partial hpartial z,partial zpartial r
Substituindo os valores:
partial x/partial r=0 elimina o primeiro termo.
O segundo termo é x= s^2 multiplicado por partial y/partial r=2s, dando 2s^3.
O terceiro termo é 2z=2r^2 multiplicado por 2r, dando 4r^3.
Somando, obtemos partial h/partial r=2s^3+4r^3

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia para partial h/partial s:
partial hpartial s = partial hpartial x,partial xpartial s + partial hpartial y,partial ypartial s + partial hpartial z,partial zpartial s
Substituindo:
partial x/partial s=2s e hx=y=2rs produzem 4r s^2.
partial y/partial s=2r e hy=x=s^2 produzem 2r s^2.
O último termo é zero pois partial z/partial s=0.
Logo partial h/partial s=4rs^2+2rs^2=6r s^2

Resposta

partial hpartial r=2s^3+4r^3, partial hpartial s=6r s^2

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