Determine os pontos críticos da função f e classifique-os:
f(x, y)=x^2+y^2+x^2 y+4

Passo 1

O enunciado pede para obter os pontos críticos da função f(x,y)=x^2+y^2+x^2y+4. Esse conteúdo pertence a cálculo multivariável: precisamos usar o gradiente para achar pontos críticos e a matriz Hessiana para classificá-los.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
fx=partial fpartial x=2x+2xy,
fy=partial fpartial y=2y+x^2
Igualamos a zero: 2x(1+y)=0 e 2y+x^2=0. Das equações obtemos os pontos críticos (0,0), (raiz2,-1) e .

Passo 3

Para classificar, montamos a matriz Hessiana:
H= fxx&fxy fyx&fyy = 2+2y&2x 2x&2

Passo 4

Avaliando em cada ponto:
Em (0,0):
H(0,0)=2&00&2
com determinante positivo e fxx>0, logo mínimo local.
Em (pmraiz2,-1):
H(pmraiz2,-1)=0&pm2raiz2pm2raiz2&2
com determinante negativo, logo ponto de sela.

Resposta

(0,0) é mínimo local; (raiz2,-1) e são pontos de sela.

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