Encontre as funções:
i. f circ g
ii. g circ f
iii. f circ f
iv. g circ g
f(x)=1-3 x, g(x)=5 x^2+3 x+2

Passo 1

O enunciado pede para determinar as composições f∘g, g∘f, f∘f e g∘g, onde f(x)=1−3x e g(x)=5x²+3x+2. O conteúdo envolvido é composição de funções, ou seja, usar a definição (h∘k)(x)=h(k(x)).

Passo 2

Para calcular f∘g aplicamos f em g(x): f(g(x)) = 1 − 3·g(x). Substituindo g(x)=5x²+3x+2:
f(g(x)) = 1 − 3(5x² + 3x + 2) = 1 − 15x² − 9x − 6 = −15x² − 9x − 5 ²²²

Passo 3

Para calcular g∘f aplicamos g em f(x): g(f(x)) = 5·(f(x))² + 3·f(x) + 2. Substituindo f(x)=1−3x:
f(x)=1−3ximplies (1−3x)²=1−6x+9x² ²²
Multiplicando e somando os termos:
g(f(x)) = 5(1−6x+9x²) + 3(1−3x) + 2 = 5 − 30x + 45x² + 3 − 9x + 2 = 45x² − 39x + 10 ²²²

Passo 4

Para f∘f aplicamos f em f(x): f(f(x)) = 1 − 3·(1−3x). Então:
f(f(x)) = 1 − 3(1−3x) = 1 − 3 + 9x = 9x − 2

Passo 5

Para g∘g aplicamos g em g(x): g(g(x)) = 5·(g(x))² + 3·g(x) + 2. Primeiro expandimos (g(x))² com g(x)=5x²+3x+2:
(5x²+3x+2)² = 25x⁴ + 30x³ + 29x² + 12x + 4 ²²³²
Então
g(g(x)) = 5(25x⁴ + 30x³ + 29x² + 12x + 4) + 3(5x²+3x+2) + 2 ³²²
Expandindo e somando:
= 125x⁴ + 150x³ + 145x² + 60x + 20 + 15x² + 9x + 6 + 2 = 125x⁴ + 150x³ + 160x² + 69x + 28 ³²²³²

Resposta

f∘g(x)=−15x²−9x−5, g∘f(x)=45x²−39x+10, f∘f(x)=9x−2, g∘g(x)=125x⁴+150x³+160x²+69x+28

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