Exemplo 48 Considere f: R R definida por f(x)=x^3. Mostre que f é ímpar.
Solução:
f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a função f: Rto R, dada por f(x)=x^3, é ímpar. O conteúdo aqui é a definição de função ímpar: uma função f é ímpar se satisfaz f(-x)=-f(x) para todo x.

Passo 2

Aplicando a definição de ímpar, calculamos f(-x):
f(-x)=(-x)^3
Sabemos que elevar um número a uma potência ímpar preserva o sinal invertido, logo

Passo 3

(-x)^3=-x^3
Mas -x^3 é exatamente -f(x), pois f(x)=x^3. Portanto,

Passo 4

f(-x)=-f(x)
Concluímos que a condição de função ímpar está satisfeita para todo xin R.

Resposta

Como f(-x)=-f(x) para todo x, a função f(x)=x^3 é ímpar.

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