Determine as derivadas parciais das funções:
f(x, y)=sin (x y)+cos (x+y)tan ^2(x y-2 x^5)

Passo 1

Este exercício pede para calcular as derivadas parciais de
f(x,y)= sin(xy)+cos(x+y)tan^2(xy-2x^5).
O conteúdo principal envolve a regra do quociente e a regra da cadeia para funções trigonométricas.

Passo 2

Para organizar a resolução, definimos as funções intermediárias:
u(x,y)=sin(xy)+cos(x+y)
phi(x,y)=xy-2x^5
v(x,y)=tan^2l(phi(x,y)r)
Assim, temos f(x,y)=u(x,y)/v(x,y).

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de u:
ux=partialpartial xl(sin(xy)r)+partialpartial xl(cos(x+y)r)=ycos(xy)-sin(x+y)
uy=partialpartial yl(sin(xy)r)+partialpartial yl(cos(x+y)r)=xcos(xy)-sin(x+y)

Passo 4

Agora, derivamos phi(x,y):
phix=partialpartial x(xy-2x^5)=y-10x^4
phiy=partialpartial y(xy-2x^5)=x

Passo 5

Em seguida, derivamos v(x,y)=tan²(φ) usando a regra da cadeia:
vx=2tan(phi)cdotsec^2(phi),phix=2tan(phi)sec^2(phi)l(y-10x^4r)
vy=2tan(phi)cdotsec^2(phi),phiy=2tan(phi)sec^2(phi),x

Passo 6

Aplicamos a fórmula da derivada do quociente para f_x e f_y:
fx=ux,v - u,vxv^2, fy=uy,v - u,vyv^2

Passo 7

Por fim, substituímos v=tan^2(phi) e v^2=tan^4(phi), além de reorganizar os termos para chegar às expressões finais.

Passo 8

Obtendo as derivadas parciais simplificadas em função de x e y:

Passo 9

Resposta

As derivadas parciais de f(x,y)=sin(xy)+cos(x+y)tan^2(xy-2x^5) são:
fx(x,y)=ycos(xy)-sin(x+y)tan^2(xy-2x^5)-2l[sin(xy)+cos(x+y)r],(y-10x^4),sec^2(xy-2x^5)tan^3(xy-2x^5)
fy(x,y)=xcos(xy)-sin(x+y)tan^2(xy-2x^5)-2xl[sin(xy)+cos(x+y)r],sec^2(xy-2x^5)tan^3(xy-2x^5)

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