onde e são como abaixo. e é a região delimitada por , e ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral tripla, que é como somar valores de uma função em todo um espaço tridimensional. Aqui, a função que vamos integrar é e a região onde vamos fazer essa soma é definida pelas seguintes restrições: varia de 0 a 4, varia de -1 a 1, e também varia de -1 a 1. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar e calcular integrais múltiplas, especialmente integrais triplas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a integral tripla de forma iterada. Isso significa que vamos integrar a função em relação a uma variável de cada vez, seguindo as limitações dadas para cada variável. Nossa integral fica assim:
Passo 3
Vamos começar integrando em relação a . Observe que a função não depende de , então a integral em é simples:
Passo 4
Agora, vamos integrar o resultado anterior em relação a . A expressão que temos é :
Calculando cada parte:
Então, a integral em resulta em .
Passo 5
Por último, vamos integrar em relação a integralx=-1^1 24x , dx = 24 integral-1^1 x , dx = 24 times ( x^22 |-1^1 ) = 24 times ( 12 - 12 ) = 24 times 0 = 0 . Temos agora: