Calcule
integral triplaOmega f(x, y, z) d x d y d z,
onde f e Omega são como abaixo.
f(x, y, z)=3 x+2 y e Omega é a região delimitada por z=4, z=0, x=-1, x=1, y=-1 e y=1;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral tripla, que é como somar valores de uma função em todo um espaço tridimensional. Aqui, a função que vamos integrar é e a região onde vamos fazer essa soma é definida pelas seguintes restrições: varia de 0 a 4, varia de -1 a 1, e também varia de -1 a 1. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar e calcular integrais múltiplas, especialmente integrais triplas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral tripla de forma iterada. Isso significa que vamos integrar a função integral triplaOmega f(x, y, z) , dx , dy , dz = integralx=-1^1 integraly=-1^1 integralz=0^4 (3x + 2y) , dz , dy , dx em relação a uma variável de cada vez, seguindo as limitações dadas para cada variável. Nossa integral fica assim:

Passo 3

Vamos começar integrando em relação a integralz=0^4 (3x + 2y) , dz = (3x + 2y) times (4 - 0) = 4(3x + 2y) = 12x + 8y . Observe que a função não depende de , então a integral em é simples:

Passo 4

Agora, vamos integrar o resultado anterior em relação a integraly=-1^1 (12x + 8y) , dy = 12x integral-1^1 dy + 8 integral-1^1 y , dy . A expressão que temos é 12x times (1 - (-1)) = 12x times 2 = 24x :
8 times ( y^22 |-1^1 ) = 8 times ( 12 - 12 ) = 8 times 0 = 0
Calculando cada parte:
Então, a integral em resulta em .

Passo 5

Por último, vamos integrar em relação a integralx=-1^1 24x , dx = 24 integral-1^1 x , dx = 24 times ( x^22 |-1^1 ) = 24 times ( 12 - 12 ) = 24 times 0 = 0 . Temos agora:

Resposta

O valor da integral tripla é 0.

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