Determine as derivadas parciais das funções:
f(x, y)=tan xy

Passo 1

O exercício pede para encontrar as derivadas parciais de f(x,y)=tan(x/y). Estamos em cálculo de funções de duas variáveis e vamos usar a regra da cadeia junto com a derivada de tan(u).

Passo 2

Vamos definir a variável auxiliar u = x/y. Primeiro calculamos as derivadas parciais de u: para x, como y é tratado como constante, temos u=xyimpliespartial upartial x=1y Para y, usamos que x é constante e y^(-1) dá: partial upartial y=xcdot(-1)y^-2=-xy^2

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia em f = tan(u). Sabemos que d(tan u)/du = sec^2(u). Logo
partial fpartial x=sec^2(u)cdotpartial upartial x=sec^2l(tfracxyr)cdot1y
partial fpartial y=sec^2(u)cdotpartial upartial y=sec^2l(tfracxyr)cdotl(-tfracxy^2r)

Resposta

As derivadas parciais são partial fpartial x=1ysec^2l(tfracxyr) e partial fpartial y=-xy^2sec^2l(tfracxyr).

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