Determine as derivadas parciais das funções:
f(x, y)=5 x^2+6 x y+e^2 x+y

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de
f(x,y)=5x^2+6xy+e^2x+y
O conteúdo envolve derivadas parciais, em que ao derivar em relação a uma variável tratamos a outra como constante, aplicando a regra do poder, da soma, do produto e da função composta para exponencial.

Passo 2

Para partial fpartial x derivamos termo a termo em relação a x, tomando y como constante:
  • partialpartial x(5x^2)=10x pela regra do poder;
  • partialpartial x(6xy)=6y pois é produto de 6x por y constante;
  • partialpartial xl(e^2x+yr)=e^2x+ycdotddx(2x+y)=2e^2x+y pela cadeia.
    Logo,
partial fpartial x=10x+6y+2e^2x+y

Passo 3

Para partial fpartial y derivamos em relação a y, tratando x como constante:
  • partialpartial y(5x^2)=0;
  • partialpartial y(6xy)=6x;
  • partialpartial yl(e^2x+yr)=e^2x+ycdotddy(2x+y)=e^2x+y.
    Portanto,
partial fpartial y=6x+e^2x+y

Resposta

partial fpartial x=10x+6y+2e^2x+y, partial fpartial y=6x+e^2x+y

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