Questão 2. Calcule a derivada das seguintes funções:
f(x)=raizx arctg x

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=raizx,arctgx
O conteúdo envolvido é a regra do produto (pois f é produto de duas funções), a regra de potência (para raizx=x^1/2) e a derivada da função arctgx.

Passo 2

Definimos
u(x)=raizx=x^1/2, v(x)=arctgx
A regra do produto diz que
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)

Passo 3

Calculamos u'(x) usando a regra de potência:
u(x)=x^1/2 Longrightarrow u'(x)=12,x^-1/2=12raizx

Passo 4

Calculamos v'(x), sabendo que a derivada de arctgx é
v'(x)=ddxl(arctgxr) =11+x^2

Passo 5

Substituindo na regra do produto:
f'(x) =u'(x),v(x)+u(x),v'(x) =12raizx;arctgx +raizx;11+x^2

Resposta

f'(x)=arctgx2raizx+raizx1+x^2

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