Determine as derivadas parciais das funções:
f(x, y)=x^2 y e^x y^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de f(x, y)=x^2y e^x y^2. Isso envolve aplicar a regra do produto (pois temos x^2y multiplicando e^x y^2) e a regra da cadeia (para derivar o expoente x y^2).

Passo 2

Para encontrar partial fpartial x, tratamos y como constante. Definimos u(x,y)=x^2y e v(x,y)=e^x y^2. Pela regra do produto: partial fpartial x=ux,v+u,vx. Calculamos
ux=2xy e, pela cadeia,
vx=e^x y^2cdot y^2. Substituindo e simplificando, obtemos:
partial fpartial x=2xy,e^x y^2+x^2y,e^x y^2y^2=e^x y^2l(2xy+x^2y^3r)

Passo 3

Para encontrar partial fpartial y, tratamos x como constante e usamos de novo u(x,y)=x^2y e v(x,y)=e^x y^2. Pela regra do produto: partial fpartial y=uy,v+u,vy. Calculamos
uy=x^2 e, pela cadeia,
vy=e^x y^2cdot2xy. Substituindo e simplificando, chega-se a:
partial fpartial y=x^2e^x y^2+x^2y,e^x y^2cdot2xy=e^x y^2l(x^2+2x^3y^2r)

Resposta

As derivadas parciais são:
partial fpartial x=e^x y^2l(2x y+x^2y^3r), partial fpartial y=e^x y^2l(x^2+2x^3y^2r)

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