Escreva (7645)8 no sistema de base 5 e (a 3 b)12 no sistema de base 7 .

Passo 1

O enunciado pede duas conversões de bases: primeiro transformar o número (7645)8 para a base 5 e depois transformar o número (a3b)12 para a base 7. O conteúdo aqui é conversão de base a partir da representação posicional, e vamos usar dois passos principais em cada caso: passar para decimal e depois converter para a base desejada.

Passo 2

Para converter (7645)8 em decimal, usamos a definição de valor posicional em base 8. Cada dígito multiplica uma potência de 8 conforme sua posição, começando de zero à direita. Assim:
76458 = 7cdot8^3 + 6cdot8^2 + 4cdot8^1 + 5cdot8^0
Calculando cada termo:
7cdot8^3 = 7cdot512 = 3584,
6cdot8^2 = 6cdot64 = 384,
4cdot8^1 = 32,
5cdot8^0 = 5
Somando tudo, obtemos 3584 + 384 + 32 + 5 = 4005.
Logo, (7645)8 = 400510.

Passo 3

Agora convertemos 400510 para a base 5 fazendo divisões sucessivas por 5 e anotando os restos:
4005 ÷ 5 = 801 resto 0
801 ÷ 5 = 160 resto 1
160 ÷ 5 = 32 resto 0
32 ÷ 5 = 6 resto 2
6 ÷ 5 = 1 resto 1
1 ÷ 5 = 0 resto 1
Lendo os restos de baixo para cima, o número em base 5 é (112010)5.

Passo 4

Para converter (a3b)12 em decimal, primeiro identificamos os valores de cada dígito: a = 10, 3 = 3, b = 11. Usamos então potências de 12:
a3b12 = 10cdot12^2 + 3cdot12^1 + 11cdot12^0
Calculando:
10cdot12^2 = 10cdot144 = 1440,
3cdot12^1 = 36,
11cdot12^0 = 11
Somando, vem 1440 + 36 + 11 = 1487.
Logo, (a3b)12 = 148710.

Passo 5

Agora convertemos 148710 para a base 7 usando divisões sucessivas por 7 e anotando restos:
1487 ÷ 7 = 212 resto 3
212 ÷ 7 = 30 resto 2
30 ÷ 7 = 4 resto 2
4 ÷ 7 = 0 resto 4
Lendo os restos de baixo para cima, obtemos (4223)7.

Resposta

(7645)8 = (112010)5 e (a3b)12 = (4223)7

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