Determine as derivadas parciais das funções:
h(x, y, z)=sin (ln (x y z^2))

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar as derivadas parciais da função $ h(x, y, z) = \sin\left(\ln\left(x y z^{2}\right)\right) $. Isso significa que vamos calcular como $ h $ muda quando mudamos apenas uma das variáveis ($ x $, $ y $ ou $ z $) mantendo as outras constantes. Para isso, vamos usar derivadas parciais e a regra da cadeia do cálculo diferencial.

Passo 2

Vamos começar encontrando a derivada parcial de $ h $ em relação a $ x $.
  1. Definindo uma função intermediária: Vamos chamar o argumento do seno de $ u $, ou seja:
    h
    Então, a função fica:
    x
  2. Aplicando a regra da cadeia: A derivada de $ \sin(u) $ em relação a $ u $ é $ \cos(u) $. Então, pela regra da cadeia:
    u
  3. Calculando $ \frac{\partial u}{\partial x} $:
    u = ln(x y z^2)
    Derivando em relação a $ x $:
    h = sin(u)
  4. Substituindo de volta:
    sin(u)

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de $ h $ em relação a $ y $.
  1. Usando a mesma função intermediária $ u $:
    h
  2. Calculando $ \frac{\partial u}{\partial y} $:
    y
  3. Substituindo de volta:
    u

Passo 4

Por fim, vamos calcular a derivada parcial de $ h $ em relação a $ z $.
  1. Ainda com a função $ u $:
    h
  2. Calculando $ \frac{\partial u}{\partial z} $:
    z
    (Isso porque derivar $ \ln(z^{2}) $ dá $ \frac{2}{z} $)
  3. Substituindo de volta:
    u

Resposta

As derivadas parciais da função são:
partial hpartial x = cos(ln(x y z^2))x
partial hpartial y = cos(ln(x y z^2))y
partial hpartial z = 2,cos(ln(x y z^2))z

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