Determine as derivadas parciais das funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar as derivadas parciais da função $ h(x, y, z) = \sin\left(\ln\left(x y z^{2}\right)\right) $. Isso significa que vamos calcular como $ h $ muda quando mudamos apenas uma das variáveis ($ x $, $ y $ ou $ z $) mantendo as outras constantes. Para isso, vamos usar derivadas parciais e a regra da cadeia do cálculo diferencial.
Passo 2
Vamos começar encontrando a derivada parcial de $ h $ em relação a $ x $.
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Definindo uma função intermediária: Vamos chamar o argumento do seno de $ u $, ou seja:Então, a função fica:
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Aplicando a regra da cadeia: A derivada de $ \sin(u) $ em relação a $ u $ é $ \cos(u) $. Então, pela regra da cadeia:
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Calculando $ \frac{\partial u}{\partial x} $:Derivando em relação a $ x $:
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Substituindo de volta:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de $ h $ em relação a $ y $.
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Usando a mesma função intermediária $ u $:
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Calculando $ \frac{\partial u}{\partial y} $:
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Substituindo de volta:
Passo 4
Por fim, vamos calcular a derivada parcial de $ h $ em relação a $ z $.
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Ainda com a função $ u $:
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Calculando $ \frac{\partial u}{\partial z} $:(Isso porque derivar $ \ln(z^{2}) $ dá $ \frac{2}{z} $)
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Substituindo de volta:
Resposta
As derivadas parciais da função são: