Seja a superfície e a reta normal a passando pelo ponto .
Calcule o ponto de interseção de com o plano .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma superfície definida por e um ponto que está nessa superfície. Queremos encontrar o ponto de interseção da reta normal a essa superfície que passa por com o plano .
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre retas normais a superfícies e como encontrar a equação de uma reta no espaço tridimensional. Vamos seguir passo a passo para deixar tudo bem claro!
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar que o ponto realmente está na superfície . Substituindo e na equação da superfície:
Como , o ponto está mesmo na superfície .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a reta normal à superfície no ponto . A reta normal é aquela que segue a direção do gradiente da função que define a superfície. A superfície pode ser descrita pela função:
O gradiente de , que dá a direção normal, é dado por:
No ponto , o gradiente é:
Passo 4
Com o vetor normal e o ponto , podemos escrever a equação paramétrica da reta normal :
Onde são as componentes do vetor normal e é o parâmetro. Substituindo:
Passo 5
Queremos encontrar o ponto 1 + t = 0 implies t = -1 onde essa reta intercepta o plano , que é onde . Então, vamos encontrar o valor de que faz :
Passo 6
Agora, substituímos x = 1 + 2(-1) = 1 - 2 = -1 y = -1 - 2(-1) = -1 + 2 = 1 z = 0 nas equações paramétricas para encontrar as coordenadas de :