(3,0) Seja S a superfície z=3-x^2-y^2, P0=(1,-1,1) e r a reta normal a S passando pelo ponto P0.
Calcule o ponto de interseção P1 de r com o plano x y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma superfície definida por e um ponto que está nessa superfície. Queremos encontrar o ponto de interseção da reta normal a essa superfície que passa por com o plano .
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre retas normais a superfícies e como encontrar a equação de uma reta no espaço tridimensional. Vamos seguir passo a passo para deixar tudo bem claro!

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar que o ponto z = 3 - (1)^2 - (-1)^2 = 3 - 1 - 1 = 1 realmente está na superfície . Substituindo e na equação da superfície:
Como , o ponto está mesmo na superfície .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a reta normal à superfície f(x, y, z) = z + x^2 + y^2 - 3 = 0 no ponto nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z ) = (2x, 2y, 1) . A reta normal é aquela que segue a direção do gradiente da função que define a superfície. A superfície nabla f(P0) = (2 cdot 1, 2 cdot (-1), 1) = (2, -2, 1) pode ser descrita pela função:
O gradiente de , que dá a direção normal, é dado por:
No ponto , o gradiente é:

Passo 4

Com o vetor normal x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct e o ponto x = 1 + 2t y = -1 - 2t z = 1 + t , podemos escrever a equação paramétrica da reta normal :
Onde são as componentes do vetor normal e é o parâmetro. Substituindo:

Passo 5

Queremos encontrar o ponto 1 + t = 0 implies t = -1 onde essa reta intercepta o plano , que é onde . Então, vamos encontrar o valor de que faz :

Passo 6

Agora, substituímos x = 1 + 2(-1) = 1 - 2 = -1 y = -1 - 2(-1) = -1 + 2 = 1 z = 0 nas equações paramétricas para encontrar as coordenadas de :

Resposta

O ponto de interseção é .

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